【中学受験算数】VI-04．四角形

中学受験 算数 [VI] 平⾯図形 04. 四⾓形 2025/10/4 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa

z 四⾓形 – １．四⾓形の種類 2025/10/4改定 l 台形は向かい合う1組の辺が平⾏な四⾓形で、平⾏四辺形は2組の辺が平⾏である四⾓形 l ひし形は4本の辺の⻑さが等しい四⾓形で、平⾏四辺形の特別な場合 （１）四⾓形の分類 Ø 台形︓向かい合う1組の辺が平⾏な四⾓形 種類 Ø 平⾏四辺形︓向かい合う2組の辺が平⾏ 内⾓の和 Ø ひし形︓4本の辺の⻑さが等しい四⾓形 定義 Ø 正⽅形︓4本の辺の⻑さが等しい⻑⽅形 ≫ 180° 向かい合う⾓度は同じ 真ん中で交わる ー ⻑⽅形 ー ー ＝ 種類 もう1組の辺も平⾏ 全4辺、同じ⻑さ ＝ 特徴なし (バラバラ) ＝ 辺の⻑さ 向かい合う2辺が 同じ⻑さ ＝ ＝ ≫ 等脚台形 真ん中で垂直に交わる 中⼼ ＝ ≫ ひし形 同則内⾓は180° 対⾓線 ー 台形 四⾓形 + 特徴なし ≫ 平⾏でない 2辺が同じ⻑さ 平⾏四辺形 360° 同則内⾓は180° ⾓度 Ø ⻑⽅形︓4つの⾓が全て直⾓の四⾓形 1組の辺が 平⾏ 台形 向いあう2辺が平⾏ ＝ 平⾏四辺形 ＞ ＞ ひし形 4つの⾓が 全て直⾓ ⾓度 正⽅形 全部90° 対⾓線 中⼼ 辺の⻑さ 正⽅形 たこ形 360° 真ん中で交わる ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ たこ形 ≫ 内⾓の和 4辺が 同じ⻑さ ＝ ≫ 4辺が 同じ⻑さ ≫ ⻑⽅形 ＝ ー 4つの⾓が 全て直⾓ 4辺の同じ⻑さ ＝ ー ＝ 2025/10/4 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 4辺が 同じ⻑さ ー ＝ ≫ ー ＞ ＞ ＞ ー ≫ ＞ ＝ ー ＝ となり合った 2辺の⻑さが 同じ 全て直⾓ ≫ 向かい合う2辺が 同じ⻑さ 特徴なし 真ん中で 垂直に交わる 垂直に交わる 中⼼ 全4辺、同じ⻑さ となり合った 2辺の⻑さが同じ 1

z 四⾓形 – ２．四⾓形の⾯積 l 平⾏四辺形の⾯積は 底辺×⾼さ。正⽅形・⻑⽅形の⾯積は たて×横 l 台形の⾯積は 上底 + 下底 ×⾼さ ÷ 𝟐 l ひし形・正⽅形など、対⾓線同⼠が直⾓に交わる四⾓形の⾯積は 対⾓線×対⾓線 ÷ 𝟐でも利⽤可能 （１）四⾓形の⾯積 対象 平⾏四辺形 （ひし形、⻑⽅形、正⽅形） 台形 ひし形、たこ形 （正⽅形） パターン 辺の⻑さを使う 2つくっつけて計算して、 後から2でわる 対⾓線を使う 底辺×⾼さ 上底 + 下底 ×⾼さ ÷ 𝟐 対⾓線×対⾓線 ÷ 𝟐 上底 ⾼さ 公式 底辺 10/4/25 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 【理由】 底辺に垂直に線を引いて、 できた三⾓形を右に移すと、 横が「底辺」、たてが「⾼さ」の ⻑⽅形になる 下底 対 ⾓ 線 ⾼さ 下底 上底 【理由】 上下をひっくり返して横につけると、 底辺が「上底＋下底」の平⾏四辺形 になる。 平⾏四辺形の⾯積を2でわると、 元の台形の⾯積が求められる 同じ⾯積 ◎ ○ ○ ◎ △ □ △ □ 対⾓線 【理由】 対⾓線の⻑さに合わせて、⻑⽅形を 作ると、元の四⾓形の⾯積は、 できた⻑⽅形の⾯積を2でわった値 2

z 四⾓形 – ３．台形 l 台形とは向かい合う1組の辺が平⾏の四⾓形で、平⾏同⼠の辺をそれぞれ上底、下底という l 台形の⾯積の公式は 上底 + 下底 ×⾼さ ÷ 𝟐 l 等脚台形とは平⾏ではない2辺の⻑さが同じ台形で、両端の⾓度も等しく、線対称な図形 （１）台形の定義 （３）台形の⾯積 上底 【定義（最初に決めた出発点）】 【公式】 ≫ 台形︓ 向かい合う1組の辺が 平⾏の四⾓形 （４）等脚台形 ≫ ※平⾏同⼠の辺のうち、⼀⽅を 上底、もう⼀⽅を下底という 台の形をしてなくても、 1辺が平⾏だったら台形︕ 台形の⾯積 = 上底 + 下底 ×⾼さ ÷ 𝟐 下底 【定義（最初に決めた出発点）】 等脚台形︓ 平⾏ではない向かい合う 辺の⻑さが同じ台形 上底 ≫ ≫ 下底 ① 同則内⾓の和は180° ⾓A + ⾓B = 180° ⾓C + ⾓D = 180° 2025/10/4 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 辺AD ∥ 辺BC ならば A ≫ D A ≫ 合計 180° B ≫ C ー ー ≫ （５）等脚台形の性質 （２）台形の性質 台形ABCD ≫ B D ①台形の性質は全て当てはまる 辺AD ∥ 辺BC かつ AB = CD ならば ② となり合う⾓は同じ⼤きさ ⾓A = ⾓D、⾓B = ⾓C A 合計 180° ≫ 等脚台形ABCD C ≫ ー B ≫ ③ 2本の対⾓線がOで交わると、 AO = DO、 BO = CO D A ー 合計 180° ー C B D ≫ O ≫ ー C 3

z 四⾓形 – ４．平⾏四辺形 l 平⾏四辺形とは向かい合う２組の辺が平⾏の四⾓形のことで、向かい合う辺の⻑さは同じ性質がある l 平⾏四辺形の⾯積の公式は底辺×⾼さ。 （１）平⾏四辺形の定義 （３）平⾏四辺形の⾯積 A 【定義（最初に決めた出発点）】 ＞ ≫ B C ⾼さ （２）平⾏四辺形の性質 平⾏四辺形ABCD 台形とちがい、 たて・横 両⽅向に 同則内⾓がある ① 向かい合う⾓は同じ⼤きさ ⾓A = ⾓C、⾓B = ⾓D 底辺 ② 同則内⾓の合計は180° ü 底辺と⾼さは必ず垂直 ⾓A + ⾓B = 180° ⾓A + ⾓D = 180° ⾓C + ⾓B = 180° ⾓C + ⾓D = 180° 辺AB ∥ 辺CD かつ 辺AD ∥ 辺BC ならば 【公式】 平⾏四辺形の⾯積 = 底辺×⾼さ ＞ 平⾏四辺形︓ 向かい合う2組の辺が 平⾏の四⾓形 D ≫ 底辺 ⾼さ ü 底辺はどちらの辺でも良い どの辺を底辺にするか、⾊んな⾒⽅を試す︕ ③ 向かい合う辺の⻑さは同じ AB = CD、 AD = BC ＞ ＞ B D ≫ ≫ C A 合計180° 合計 ー 180° B D ＝ A O ＝ 10/4/25 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa ④２本の対⾓線はたがいの 中点Oで交わる AO = CO、 BO = DO 合計180° ー C 合計 180° 4

z 四⾓形 – ５．ひし形 l ひし形は4辺の⻑さがすべて等しい四⾓形で、平⾏四辺形の特別な場合 l ひし形の⾯積は、平⾏四辺形と同じ求め⽅の他に、対⾓線×対⾓線 ÷ 𝟐でも求めることができる （３）ひし形の⾯積 【定義（最初に決めた出発点）】 【公式】 ＝ ＝ （１）ひし形の定義 ①平⾏四辺形と同じ求め⽅ ＝ ＝ ひし形（菱形）︓ ４辺が⻑さがすべて等しい四⾓形 ひし形の⾯積 = 底辺×⾼さ ②対⾓線を利⽤する求め⽅（正⽅形でも可） （２）ひし形の性質 ひし形ABCD ひし形の⾯積 = 対⾓線×対⾓線 ÷ 𝟐 ①平⾏四辺形の性質は 全て当てはまる ① ② 対⾓線 向かい合う2辺は平⾏ 辺AB ∥ 辺CD 辺AD ∥ 辺BC 底辺 ⾼さ 対⾓線 向かい合う⾓は同じ⼤きさ ⾓A = ⾓C、⾓B = ⾓D AB=BC=CD=DA ならば ２本の対⾓線はたがいの 中点Oで交わる AO = CO、 BO = DO A A ＝ C D ＝ O ＝ ＝ C B ＝ ＝ D ＝ B ＝ 2025/10/4 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa ②２本の対⾓線は垂直に 交わる 5