【中学受験算数】Ⅵ-02. 長方形・正方形

中学受験 算数 [VI] 平⾯図形 02. ⻑⽅形・正⽅形 2025/6/29 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa

z ⻑⽅形・正⽅形 – １．⻑⽅形 2025/4/29改定 l ⻑⽅形は4つの⾓が全て直⾓である四⾓形。向かい合う辺は平⾏で同じ⻑さ。 l ⻑⽅形のまわりの⻑さは、 たての⻑さ + 横の⻑さ ×𝟐 （１）⻑⽅形の定義 （３）⻑⽅形のまわりの⻑さ 【定義（最初に決めた出発点） 】 ⻑⽅形︓4つの⾓が全て直⾓ である四⾓形 よこ 横 たて 横 Ø ⻑⽅形のまわりの⻑さは、 たての⻑さ + 横の⻑さ ×2 たて たて 縦 横 （例） まわりの⻑さが20cmの⻑⽅形で、たての⽅が横より2cm⻑いとき、 たての⻑さは︖ （２）⻑⽅形の性質 ⻑⽅形ABCDに おいて ≫ ＝ A ー D ＞ ＞ ー ＝ ≫ B 2025/6/29 ③2本の対⾓線の⻑さが同じ AC = DB C ④2本の対⾓線は中⼼で 交わって、中⼼から頂点の ⻑さが全て同じ AH = BH = CH = DH ー 中⼼ B ②2組の向かい合う辺は平⾏ AB ∥ DC、AD ∥ BC D ー ー H ー Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa A C ①向かい合う辺の⻑さが同じ AB = DC、AD = BC （答） たての⻑さ＋横の⻑さ=20 ÷ 2 = 10[cm] なので、和が10cm、差（たての⽅が⻑い）が2cmの和差算になる。 たての⻑さは、 10 + 2 ÷ 2 = 6[cm] 1

z ⻑⽅形・正⽅形 – ２．正⽅形 2025/4/29改定 l 正⽅形は、４本の辺の⻑さが全て等しい⻑⽅形。すなわち、４つの⾓が全部、直⾓の四⾓形 l 正⽅形は特別な⻑⽅形なので、⻑⽅形の性質は全て当てはまる （３）正⽅形のまわりの⻑さ 【定義（最初に決めた出発点） 】 正⽅形︓4つの⾓が全て直⾓で、かつ、 4つの辺の⻑さが同じ四⾓形 Ø 正⽅形のまわりの⻑さ︓１辺の⻑さ×𝟒 ＝ （１）正⽅形の定義 ＝ ＝ （例）まわりの⻑さが20cmの正⽅形の1辺の⻑さは︖ （答）20 ÷ 4 = 5[cm] ＝ （２）正⽅形の性質 （４）正⽅形の組み合わせ 正⽅形ABCDに おいて Ø 対⾓線を引いた正⽅形を2つ組み合わせると、 少し⼩さい（⾯積が半分の）正⽅形ができる D ＝ ＝ ＝ ー ー ー ⼩さい 正⽅形 ＝ ー ③2本の対⾓線は中⼼で 交わって、中⼼から頂点の ⻑さが全て同じ AH = BH = CH = DH ー C ＝ ＝ ②2本の対⾓線の⻑さが同じ AC = DB ー ＝ ＝ 2025/6/29 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa A B ＝ ー ＝ ≫ B ＝ ①2組の向かい合う辺は平⾏ AB ∥ DC、AD ∥ BC ＞ ＞ ＝ D ー ＝ ≫ ＝ A ⻑⽅形の性質は全て当てはまる C ④2本の対⾓線は 中⼼で垂直に交わる 2

z ⻑⽅形・正⽅形 – ３．⻑⽅形の組み合わせた図形 l まわりの⻑さを求める場合は、同じ⻑さの部分を移動させて考えると求めやすい l ⻑⽅形の紙を折った場合、⻑さや⾓度が同じことが多い （１）まわりの⻑さの問題 （３）⻑⽅形の紙を折る問題 Ø ⻑⽅形を組み合わせたまわりの⻑さを求める場合には、 同じ⻑さの部分を移動させて考えると求めやすい Ø ⻑⽅形の紙を折った場合、⻑さや⾓度が同じことに注⽬︕ 3cm （例１）⻑⽅形の途中で折った場合 同じ⾓度 ＝ （答）右のように同じ⻑さの部分を動かすと 5cm たて5cm、横3+5=8cmの⻑⽅形 になるので、 c （２）⻑⽅形を重ね合わせる問題 Ø ⻑⽅形を重ね合わせた時のまわりの⻑さを求める場合には、 重ね合わせた部分のまわりの⻑さを引くと求めやすい △ 3cm ≡ 同じ⾓度 かど 5cm （例２）⻑⽅形の⾓で折った場合 1.5cm ＝ x°の2倍 ＝ 1cm ≡ − ○ ○ x° ＝ ＝ x° − ≡ 2025/6/29 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa （答）2つの⻑⽅形のまわりの⻑さは、 3 + 5 ×2×2 = 32[cm] 重ね合わせてできた⻑⽅形のまわりの⻑さは、 1 + 1.5 ×2 = 5[cm] したがって、 32 − 5 = 27[cm] − − ○ ≡ （例）たて3cm、横5cmの⻑⽅形を右図の ように2枚並べた時のまわりの⻑さは︖ 同じ⾓度 （さっ⾓） △ c 5 + 3 + 5 ×2 = 5 + 8 ×2 = 26[cm] ＝ ○ ○ c （例）たて5cm、横3cmの⻑⽅形を右図の ように2枚並べた時のまわりの⻑さは︖ 5cm お 3

z ⻑⽅形・正⽅形 – ４．⾯積 2025/6/29改定 l ⾯積とは、図形の広さを表す量。1辺1mの正⽅形の⾯積を 𝟏m𝟐 （1平⽅メートル）と定義 l 1辺10mの正⽅形の⾯積𝟏a（アール）、1辺100mの正⽅形の⾯積𝟏ha（ヘクタール）、 1辺1kmの正⽅形の⾯積は1km4 と⾔い、⾯積が100倍になる（2桁増える）ごとに単位が存在 （１）⾯積 （２）⾯積の単位 Ø ⾯積︓図形の広さを表す量 Ø ⾯積を表す単位は2桁ずつ(100倍ごと) Ø 1辺1mの正⽅形の⾯積を 𝟏m𝟐 （1平⽅メートル）と 決められている ＝ １m ＝ ⾯積 1m- ＝ ＝ Ø 正⽅形の⻑さが10倍になると、 正⽅形の⾯積は、10×10 = 100倍になる ⻑さを 10倍 １辺の⻑さ ⾯積の単位 読み⽅ 1mm 𝟏mm𝟐 平⽅ミリメートル 1cm 𝟏cm𝟐 平⽅センチメートル 10cm （なし） ー 1m 𝟏m 𝟐 平⽅メートル 10m 𝟏a アール 100m 𝟏ha ヘクタール 1km 𝟏km𝟐 平⽅キロメートル ⾯積は 100倍 1 倍 1000000 1000000倍 2025/6/29 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 1 倍 10000 km2 ha a (ヘクタール) (アール) m2 cm2 mm2 4

z ⻑⽅形・正⽅形 – ５．正⽅形と⻑⽅形の⾯積 2025/6/29改定 l 正⽅形の⾯積は、1辺の⻑さ×1辺の⻑さで求められる l ⻑⽅形の⾯積は、たての⻑さ×よこの⻑さで求められる （１）正⽅形の⾯積 （２）⻑⽅形の⾯積 【公式】 【公式】 正⽅形の⾯積 = 1辺の⻑さ×1辺の⻑さ ⻑⽅形の⾯積 = たての⻑さ×よこの⻑さ ＝ よこ 横 １辺の ＝ ⻑さ ＝ たて 縦 ＝ Ø 対⾓線を使って、正⽅形の⾯積を求めることができる 正⽅形の⾯積 = 対⾓線の⻑さ×対⾓線の⻑さ ÷ 𝟐 正⽅形 １辺 2025/6/29 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 対⾓線 【公式が成り⽴つ理由】 ⻑⽅形の中に⼀辺1cmの正⽅形が 何個⼊っているか︖を考える 1cm たて 3個 右図の⻑⽅形の場合、たて3cm、 横5cmなので、⼀辺1cmの正⽅形が、 たてに3個、横に5個ずつならぶため、 3×5 = 15[個] ⼊ることになる。したがって、 1[cm! ]×15 = 15[cm! ] となる 1cm 横 5個 対⾓線 5

z ⻑⽅形・正⽅形 - ６．⻑⽅形を組み合わせた図形の⾯積 2025/6/29追加 l ⻑⽅形を組み合わせた図形は、いくつかの⻑⽅形に分けて、それぞれ⾯積を求める （１）⻑⽅形を組み合わせた図形の⾯積 Ø （２）等しい⾯積の２つに図形を分ける問題 ⻑⽅形を組み合わせた図形の⾯積を求めるときには、 いくつかの⻑⽅形に分けて、それぞれの⾯積を求めて、 あとからたす。重なっている部分はひく （例）右の図形の⾯積は何cm2ですか︖ ただし、かどはすべて直⾓です。 6cm 5cm 8cm Ø Ø 同じ⾯積になるように直線で分割する問題は、どちらかの 図形に着⽬して、分からない⻑さを𝑥にして⾯積を求める 求めやすくなるように補助線を引いて、いくつかの⻑⽅形 に分ける。 𝑥が2回以上出てこないように分割すること 𝑥は何mですか︖ 6cm 3cm となるので、 10m 8m （解）⻑⽅形の⾯積は、 6×10 = 60[m"] なので、⻘⾊の図形の⾯積は 半分の30m2 8cm （解）右図のように分けると ⻘︓6×8 = 48[cm"] 緑︓6×8 = 48[cm"] ⾚︓ 8 − 5 × 6 − 3 = 9[cm"] 6m （例）右の⻑⽅形の⼟地を、同じ ⾯積になるように折れ線で ２つに分割しました。 6cm 𝑥 3m 𝑥を使って⾯積の計算をすると、 8cm 6/29/25 Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa 6-3=3cm 6cm 8-5=3cm 10 − 8 ×6 + 8 − 3 ×𝑥 = 30 𝑥 = 30 − 2×6 ÷ 5 = 3.6[m] 8cm 図形の⾯積は、 ⻘ + 緑 − ⾚ = 48 + 48 − 9 = 87[cm"] 6