Riemann球面に内接する直方体[第四回日曜数学会]

Riemann球面に 内接する直方体 大阪大学工学部3年 堀川 由人 (@Hyrodium) 日曜数学会(2016/01/30)

自己紹介 • 堀川 由人 • ほりきゃわ(@Hyrodium) • 府大高専→大阪大学(編入) • 幾何的直感を使うのが好きです • Desmos Graphing Calculatorの日本語訳 • 去年参加した数学イベント • 第一回日曜数学会 • サイエンスアゴラ • 第五回プログラマのための数学勉強会

自己紹介 • 作ったもの

もくじ • 第一回日曜数学会LTの復習 • 複素数の逆数 • Riemann球面に内接する直方体 • 反数・逆数・共役 • 応用例 その1 • と を通る円 • 応用例 その2 • SU(2)によるMöbius変換

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数の作図

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

実数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

純虚数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

複素数の逆数

状況説明 • 立体射影→Re軸で180°回転→立体射影

Riemann球面と直方体 • 各軸と平行な辺

Riemann球面と直方体 • 頂点の一つを とする

Riemann球面と直方体 • 反数(加法逆元)をとる

Riemann球面と直方体 • 逆数(乗法逆元)をとる

Riemann球面と直方体 • 複素共役をとる

Riemann球面と直方体 • 各頂点と複素数が対応

直方体の頂点の数 • 8個の頂点 • 反数 • 逆数 • 共役

応用例 その1 • アールフォルス 「複素解析」p18問5 と を通る任意の 円は単位円と直交する 事を示せ.

応用例 その1 (初等幾何的解 釈) • 方べきの定理⇒接線の長さは1

応用例 その1 (Riemann球面) • 立体射影してRiemann球面上で考える

応用例 その1 (Riemann球面) • と が複素平面に関して上下対称 ⇒○と○が直交

応用例 その1 (Riemann球面) • ○と○が直交 ⇔ ○と○が直交 立体射影で角が保存

応用例 その1 (Riemann球面) • ○と○が直交 ⇔ ○と○が直交 立体射影で角が保存

応用例 その1 (Riemann球面) • ○と○が直交 ⇔ ○と○が直交 立体射影で角が保存

応用例 その2 • SU(2)によるMöbius変換はRiemann球面の 回転を表す

応用例 その2 (Möbius変換) • 複素関数 • 放物型, 双曲型, 楕円型, 斜航型に分類 ( で正規化)

応用例 その2 (SU(2)での変換) • 特殊ユニタリ行列 • 不変量 を計算 ⇒楕円型

応用例 その2 (SU(2)での変換) • 不動点を計算 ある を 故に が不動点ならば に置き換えて も不動点⇒不動点は互いに裏側

応用例 その2 (SU(2)での変換) • 特殊ユニタリ行列 • 変換は楕円型 ( ) • 不動点は反対側 ( と ) ⇒Riemann球面の回転を表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換 • 上半平面を単位円盤に移す • 行列はSU(2)の定数倍(Riemann球面の回転)

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す

応用例 その2 (Cayley変換) • Cayley変換を軸周りの回転で表す