統計、きそのきそ「二次元データの見方」

オープンゼミ #7 『統計、きそのきそ』 2025年4月28日（月） 18時～

今日のゼミの目標 統計きそのきそ，「2次元データの見方」 特に「2群間の値の比較」を徹底マスターする

データを見る３つの視点 • 単変量（one-dimensional） １種類の数値を一列に並べた世界 例）４０人の血圧、ある事業所の１日の訪問件数 • 二変量（two-dimensional） 変量を２つ同時に扱い、“関係性”や“差”に目を向ける 数×数：年齢と血圧、身長と体重 など 数×群：ある薬を飲んだ群と飲んでいない群の血圧 など 群×群：薬の内服有無と脳卒中発症の有無 など • 多変量（multi-dimensional） ３つ以上の変数が同時に絡み合う 例）服薬の有無、年齢、性別、体重を同時に入れた血圧の予測モデル など ※変量：異なる値を取ることのできる変数

２次元のデータとは • 同じ観察単位に対して２つの変量を測定したデータ 各対象（例：患者一名、一日）に対し、２つの異なる変数 “関係性”や“差異”を捉えることができる 主な分析 図示手法 数×数 相関、回帰 散布図 数×群 群間比較（t検定やWilcoxon） 箱ひげ図、ヒストグラム 群×群 χ二乗検定、フィッシャーの正確確率検定 クロス集計表、ヒートマップ ※群とは，いわゆるカテゴリカルデータ

２次元のデータを用いた比較の前提 • 例えば…… ななーる訪問看護では、高齢者が自宅でできる 画期的な運動プログラム「ななーる体操」を開発 この体操の効果を調べたい 指標はバーセルインデックス（BI）とする • 理想的な効果測定方法は 全国にいる高齢者を全て集める（36２3万人） ランダムにななーる体操をする群としない群に分ける BIの値を比較する ※より理想なのは、全高齢者を二人に分身させて比較 • しかし，現実的にはそんなことはできない →では，どうするか 令和６年版 高齢社会白書

実際の研究アプローチ N = 36,230,000 n = 100 ななーる体操実施群 VS (平均BIを比較) 母集団 （全国の高齢者） 標本 （現実的に集められる高齢者） 比較群 標本を比較することで、母集団全体の傾向を推測する →この母集団の傾向（母平均や母分散など）を“母数 (Parameter)”という ※母数＝分母やサンプルサイズのことではない

なぜ“標本”で“母集団”の傾向がわかるのか 味噌汁の味を確認するには…… ※ただし，ここでいう味とは「塩分濃度」とする 小さなスプーン一杯 →上澄みなのか底なのかわからない →偶然薄かったり，濃かったりする可能性 スプーンより大きいお椀ですくう →サンプルサイズを大きくする 母集団 よく混ぜてからすくう →ランダムサンプリング 標本

お椀が大きいほど，鍋全体の味に近づく すくう量が少ないと毎回濃さが違う →鍋の味噌汁（母集団）と違う確率が高い 大きいお椀ですくえば 鍋の味噌汁（母集団）との誤差が減る 一つひとつの味の濃さは少しずつ違う 多くすくえばすくうほど（サンプルサイズが大きい）， 母集団（鍋）の平均に近づく→大数の法則

正規分布 (前回のおさらい) • 正規分布：平均値の周りにデータが集まり 左右対称な釣鐘型の形をした連続確率分布 • 正規分布の特徴 平均値を中心に左右対称 データが平均値付近に集中し 離れるほどデータが少ない 平均値 ＝ 中央値 ＝ 最頻値 (理論上は) 釣鐘→

お椀で何度もすくったら 鍋の味噌汁の濃度 （母平均） お椀一杯の味噌汁の塩分濃度を考える ＝ 1サンプル そのお椀一杯の味噌汁の塩分濃度 ＝ 1サンプルの平均 とする 鍋の味噌汁の塩分濃度 ＝ 1.0%とする（母平均） ↑本当はこれを知りたい サンプルサイズが十分大きい（お椀が大きい）時 標本平均の分布は正規分布に近づく つまり，サンプルサイズ十分大きければ 母平均に分布が集中する →これを中心極限定理という ※念のため…… サンプルサイズ：すくった味噌汁の量 サンプル数：すくったお椀の数 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

2つの群を比べるには • 「Aさんが作った味噌汁」と「Bさんが作った味噌汁」の味を比べたい Aさん Bさん • 理想は，鍋の味噌汁を全部調べたい →しかし，それをしたらなくなってしまう VS • 小さなスプーンだと，スプーンですくった部分が偶然薄い or 濃いのかわからない VS • より大きいお椀で比べれば，鍋の味噌汁の味に近い比較ができる（大数の法則） ただ，どのくらいお椀を使えばいいのか（飲みすぎたらなくなる）→必要サンプルサイズの計算

2つの群を比べるには n = 50 8５点 • 今回の問い 「ななーる体操実施群 vs 比較群 →平均BIに差があるのか」 • 結果：2群間で平均BIに5点の差 80点 n = 50 • この差は偶然なのか，必然なのか ここで統計的仮説検定の出番

統計的仮説検定 • ななーる体操実施群と比較群の“5点”という差 統計学的に有意な差 or たまたま？ • その差が偶然のばらつきである可能性を排除したい ・たまたま測定者の誤差があった ・たまたま測定時の対象者の調子がよかった etc... →本当に体操の効果なのかわからない • 帰無仮説が成り立つのかを考える 対立仮説：体操の効果が合ってＢＩに差が生じる→本当はこれを知りたい 帰無仮説：体操の効果がなくＢＩに差がない→これが否定できればいい 帰無仮説が正しいと仮定したときに，これと同じかより極端な差が生じる確率 →p値 今回の例なら，「平均の差が５点以上になる確率」 p値が小さいならば，帰無仮説のもとでその結果は十分珍しいと判断 →帰無仮説を棄却できる

2群の差を比べる：ｔ検定 • よく聞く“t検定”は，“差÷標準誤差”から判断している • 2群間の平均値を比べる しかし，単純に平均値のみを比べても偶然性を判断できない 標本平均がどれくらいばらつくか（標準誤差）も考慮して判断する • ｔ検定がやっていること（ＡとＢの二つのグループを比較する例） ①2群の平均値の差をみる：Ａの平均値ーＢの平均値（さっきの例：85-80=5） ②①を標準誤差＝標本平均のばらつき＝√(Aの分散/na)＋√(Bの分散/nｂ) で割る →これがt値 |t値|が大きい→平均値の差が，そのばらつきを加味しても十分大きい |t値|が小さい→平均値の差が，そのばらつきの範囲に入るくらい小さい

標準偏差 (前回のおさらい) • 平均値からの「バラつき」を示す • 一人一人の平均からのズレの二乗を合計して，データの個数で割る→分散 分散の平方根（ルート）を取る→標準偏差 ※標本の分散の場合はn-1で割る 標準偏差 = 177 165 +13 -7 145 個人の平均値からのズレ 2の合計 データの個数 +25 160 平均：152 +8 -39 113 (−7)2+(13)2 +(25)2 + (8)2 + (−39)2 = 24.6 5−1

t検定：t値で差の有無をどう判断するのか • ｔ値は「平均値の差÷標準誤差」 • 標本平均の差の分布は”ｔ分布”に従う • 観測されたt値以上に極端な値が得られる確率 (＝ p値) を求める 具体的には…… 2群に差がなければ0 赤い部分の面積／曲線下全体の面積 n = 20のt分布

t検定の前提 • 真にしりたいこと：この介入は対象集団に効果があるのか つまり，母集団の平均（母平均）に差があるのか • しかし，母集団全体のデータを入手するのは困難 利用可能な標本の平均値（標本平均）から推定する • 標本平均の差がどれくらい大きいかを評価する 評価にはt値を使用 t値がt分布に従うことを前提にしている t値がt分布に従っていないと，正確に母集団の差を評価できない

t検定の前提 • t値=標本平均の差／標準誤差 t値がt分布に従うには…… 標本平均差の分布が 理論通りになる 標本分散の推定が 正確である 独立性 分散推定の正確さ 母集団の正規性 等分散性

母集団が正規分布であること • 母集団が正規分布でないと，t分布が歪む ただし，普通は母集団の分布は確認できない →標本の分布をみて判断する →正規分布を仮定できないなら，ノンパラメトリック検定も選択肢 母集団が正規分布 母集団が非正規分布

母集団の正規分布と中心極限定理 • t検定の前提は，「標本平均の差がt分布に従う」 正規分布は絶対条件ではない • 中心極限定理 サンプルサイズが大きければ標本平均の分布は正規分布に近づく →サンプルサイズが十分大きければ，t値はt分布に近づく ※一般的な基準はn > 30 n=6 n = 30 n = 50

等分散性であること • 等分散（2群のばらつきが同じ）でないと，t分布を満たせない やはり母集団の分散はわからないことが多い →標本の分布やLevene検定などで確認 →等分散性を仮定できないなら，Welchのｔ検定も選択肢

その差には意味があるのか • t検定→有意差があった その差の意味とは • t値：サンプルサイズが大きいと大きな値になりやすい（逆もしかり） t値 = AとBの平均値の差 √(Aの分散/na)＋√(Bの分散/nｂ) • サンプルサイズに影響されない，その差の大きさを見るには 効果量（Cohen’s d） →2群の平均の差を標準偏差で割った値 目安； 0.2 小さい効果 0.5 中程度の効果 0.8 大きな効果

その差には意味があるのか • 統計的検定は，サンプルサイズが大きいと小さな差でも有意となりやすい • その差が”臨床的に意味があるのか”も考える • 例えば ななーる体操はBIを5改善させる しかし，実施には特別な機器が必要（一個１０万円） 現実的にやる意味があるのか

Take home messages • ２次元のデータ： “関係性”や“差異”を捉えられる • 何かの効果や違いを見るには 通常は対象全員（母集団）における検証は困難 →標本から母集団を推定する • 統計的検定の意味を理解して使う 必要な条件，結果の意味 など…… • 検定はあくまで統計的な結果 臨床的意味を踏まえて解釈を