２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（Ver2）

§1. 2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題 n ≥ 1 とし，波動方程式の微分作用素である d’ALembertian □ = ∂t2 − ∆ を一般 化した微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 について，初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える．ただし，ここで • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn )：実数値，g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • F (t, x)：外力（given），実数値 • u0 (x), u1 (x)：初期値（given），実数値 奏理音ムイ（Vtuber） 1 / 55

初期値問題の適切性 初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn が適切（well-posed）であるとは， 1 解の存在 2 解の一意性 3 解のデータに関する連続依存性 が成立することをいう（Hadamard, 1902）． 奏理音ムイ（Vtuber） 2 / 55

双曲型作用素 以下，すべての (t, x) ∈ R × Rn について g 00 (t, x) ̸= 0 とする．微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対し，最高階の微分の部分 L0 = n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を L の主要部（principal part）という． また，L0 の ∂ = (∂0 , ∂1 , . . . , ∂n ) を ξ = (ξ0 , ξ ′ ) = (ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) でおきかえて 得られる ξ の多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を L の特性多項式（characteristic polynomial）という． 奏理音ムイ（Vtuber） 3 / 55

いま，g 00 (t, x) ̸= 0 の仮定より，特性多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を ξ0 の多項式とみると，2 次の多項式となる．その根は   1/2  2   n n n  X   X X 1  ± ′ 0j 0j  00 jk  .  λ (t, x, ξ ) = 00 − g ξj ± g ξj ξk g ξj −g    g  j=1  j=1 j,k=1 これらを L の特性根（characteristic roots）という． 奏理音ムイ（Vtuber） 4 / 55

Definition 1 微分作用素 L が（t 方向に）双曲型（hyperbolic）であるとは，任意の (t, x, ξ ′ ) ∈ R × Rn × Rn に対して，L の特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) が実数であるときを いう． また，L が正規双曲型（regularly hyperbolic）であるとは，L が双曲型でありかつ， inf (t,x)∈R×Rn |ξ ′ |=1 |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| > 0 が成立するときをいう． ※ L が d’Alembertian に適当な意味で十分近い （i.e., 行列 (g jk )0≤j,k≤n が diag(1, −1, . . . , −1) に十分近い）ならば，L は正規 双曲型となる． 目標 L が d’Alembertian に適当な意味で十分近いときに，L に対する初期値問題の適 切性を証明すること． 奏理音ムイ（Vtuber） 5 / 55

§2. 弱解の定義 T > 0 として，微分作用素 L= n X j,k=0 jk g (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (IVP) (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn を考える．係数 g jk , bj , a は C 2 ([0, T ) × Rn ) に属し，実数値であるとする．また g jk = g kj とする． u ∈ C 2 ([0, T ) × Rn ) は (IVP) の解であるとしよう ∗ ．C 2 級の関数で (IVP) を各 点の意味でみたすものを古典解（classical solution）とよぶ． ∗ このとき u ∈ C 2 (Rn ), u ∈ C 1 (Rn ), F ∈ C([0, T ) × Rn ) がしたがう． 0 1 奏理音ムイ（Vtuber） 6 / 55

いま，テスト関数 ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) を任意に取り，方程式 Lu = F に掛 けて (0, T ) × Rn で積分すると， ZZ ZZ ψF dtdx = ψLu dtdx (0,T )×Rn (0,T )×Rn ZZ = ψ (0,T )×Rn  n X  g jk ∂j ∂k u + n X j=0 j,k=0   bj ∂j u + au dtdx.  ここで，部分積分により， ZZ ψg 00 ∂02 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx − Z =− Rn Z ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx + ZZ + (0,T )×Rn 奏理音ムイ（Vtuber） ∂0 (ψg 00 )∂0 u dtdx (0,T )×Rn Rn (∂0 (ψg 00 ))(0, x)u0 (x) dx ∂02 (ψg 00 )u dtdx. 7 / 55

同様に， ZZ ψ (0,T )×Rn n X ZZ g ∂j ∂0 u dtdx ZZ n X (0,T )×Rn n X = ZZ ψ (0,T )×Rn j=1 =− Z j0 Rn j=1 n X ! 0k g ∂0 ∂k u dtdx も同じ k=1 ∂j (ψg j0 )∂0 u dtdx j=1 ZZ n X (∂j (ψg j0 ))(0, x)u0 (x) dx + ∂0 ∂j (ψg j0 )u dtdx, (0,T )×Rn j=1 ψb0 ∂0 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)b0 (0, x)u0 (x) dx − 奏理音ムイ（Vtuber） ∂0 (ψb0 )u dtdx. (0,T )×Rn 8 / 55

以上より，作用素 L∗ を L∗ ψ = n X j,k=0 ∂j ∂k (g jk ψ) − n X ∂j (bj ψ) + aψ j=0 と定義すると，等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ (L∗ ψ)u dtdx = (0,T )×Rn Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx   Z  n  X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx  Rn  Rn j=1 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 9 / 55

上で得られた等式は，u の微分可能性がなくても意味をもつ式である．これをも とに，(IVP) の弱解を以下のように定義する． 記号 s ∈ N ∪ {0} に対し，  H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし，微分は超関数の意味の微分とする．この空間を Sobolev 空間とよぶ．特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である．また，負の整数 s に対して， H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める † ． また，区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し， C(I; X) := {u : I → X;（X の位相について）連続 }, C 1 (I; X) := {u : I → X;（X の位相について）C 1 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. † Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる． 奏理音ムイ（Vtuber） 10 / 55

Definition 2 s ∈ N ∪ {0} とする．u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ), F ∈ L1 ([0, T ); H s (Rn )) と する．u ∈ C([0, T ); H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ); H s (Rn )) が初期値問題 (IVP) の弱解 （weak solution）であるとは，任意の ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) に対して等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ = (L∗ ψ)u dtdx n (0,T )×R Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx Rn   Z  n  X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx  Rn  j=1 が成立するときをいう ． s が負の整数のときも，空間変数の積分を ⟨·, ·⟩H s ,H −s の意味に適宜読み替え，係数にも追加の 滑らかさを仮定すれば同様にして弱解が定義できる． 奏理音ムイ（Vtuber） 11 / 55

§3. エネルギー不等式
§3.1 d’Alembertian に対するエネルギー不等式
u′ = ∇u := (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u)


1


g0 = (g0jk )j,k=0,...,n := diag(1, −1, . . . , −1) = 

□ := ∂02 − ∆ =







−1
..

.
−1

Pn

jk
j,k=0 g0 ∂j ∂k

Theorem 3
n ≥ 1, T > 0 とする．関数 u = u(t, x) は，u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ，ある
R > 0 が存在して supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする．このとき，
∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn ) +

Z t
∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds (t ∈ [0, T ])
0

が成立する．特に □u = 0 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) のときは等号で成立する：

∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) = ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn )
奏理音ムイ（Vtuber）

(t ∈ [0, T ]).
12 / 55

証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する： e0 (u) := |u′ |2 = n X |∂k u|2 k=0 = g000 |∂0 u|2 − n X g0jk ∂j u∂k u, j,k=1 （後で一般化する場合に見通しを良くするため，あえてこのようにも書いておく） ej (u) := −2∂0 u∂j u n X =2 g0jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 このとき，次が成立する． (1) ′ 2 2∂0 u□u = ∂0 |u | − 2 n X j=1 奏理音ムイ（Vtuber） ∂j (∂0 u∂j u) = n X ∂j ej (u). j=0 13 / 55

式 (1) の証明：  ∂0 |u′ |2 = ∂0 |∂0 u|2 + n X   |∂j u|2  = 2 ∂02 u∂0 u + j=1 −2 n X ∂j (∂0 u∂j u) = −2 j=1 n X  ∂0 ∂j u∂j u , j=1 n X
∂j ∂0 u∂j u + ∂0 u∂j2 u . j=1 この右辺どうしの和をとると 2∂0 u□u になる． 奏理音ムイ（Vtuber） 14 / 55

supp u ∈ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} に注意して ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) を t で微分す ると， Z ∂0 ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) = ∂0 |u′ |2 dx n R   Z n X ∂0 |u′ |2 − 2 ∂j (∂0 u∂j u) dx = Rn j=1 （∵ u は空間遠方で 0） Z n X = Rn j=0 ∂j ej (u) dx Z =2 Rn ′ ∂0 u□u dx （∵ 式 (1)） ≤ 2∥u (t, ·)∥L2 (Rn ) ∥□u(t, ·)∥L2 (Rn ) . 下から 2 行目までの等式から，特に □u ≡ 0 なら ∂0 ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) = 0 となり ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) は一定となることが分かる（定理の主張の後半部分）． 奏理音ムイ（Vtuber） 15 / 55

一方，左辺は（∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) > 0 である限りは） ∂0 ∥u′ (t, ·)∥2L2 (Rn ) = 2∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ∂0 ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) であるから，これを前の不等式に用いて 2∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ∂0 ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ 2∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ∥□u(t, ·)∥L2 (Rn ) , すなわち ∂0 ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ ∥□u(t, ·)∥L2 (Rn ) . （もしすべての s ∈ [0, t] について ∥u′ (s, ·)∥L2 (Rn ) > 0 ならば）上式で t を s に置 き換えたものを [0, t] 上で積分して， ′ ∥u (t, ·)∥ L2 (Rn ) ′ Z t ≤ ∥u (0, ·)∥ L2 (Rn ) ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds + 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 16 / 55

もし ∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) > 0 かつ，ある s ∈ [0, t) について ∥u′ (s, ·)∥L2 (Rn ) = 0 とな る場合には，そのような s のうち [0, t) における最大のもの s∗ をとって，[0, t] の 代わりに s ∈ [s∗ , t] で積分すれば ′ ∥u (t, ·)∥ L2 (Rn ) Z t ′ ≤ ∥u (s∗ , ·)∥ L2 (Rn ) ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds + s∗ Z t ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds = s∗ （∵ ∥u′ (s∗ , ·)∥L2 (Rn ) = 0 ） ′ Z t ≤ ∥u (0, ·)∥L2 (Rn ) + ∥□u(s, ·)∥L2 (Rn ) ds 0 となってやはり求める不等式を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 17 / 55

§3.2. 変数係数双曲型作用素に対するエネルギー不等式 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を考える． • g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1) • rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x) とし， n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する． Lemma 4 上の仮定のもとで，L は（t 方向に）正規双曲型となる． 奏理音ムイ（Vtuber） 18 / 55

証明 特性多項式は， p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 = ξ02 − |ξ ′ |2 + n X rjk (t, x)ξj ξk j,k=0 = (1 + r 00 )ξ02 + 2 n X ! 0k r ξk ξ0 − |ξ ′ |2 + k=1 n X rjk ξj ξk . j,k=1 これを ξ0 の 2 次多項式とみて，判別式 D を計算すると，   !2 n n X X D = r0k ξk + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − rjk ξj ξk  . 4 k=1 奏理音ムイ（Vtuber） j,k=1 19 / 55

ここで，仮定 n X |rjk (t, x)| ≤ j,k=0 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) より， 1 ≤ 1 + r00 ≤ 2 2 および |ξ ′ |2 − n X  rjk ξj ξk ≥ |ξ ′ |2 −  j,k=1  |rjk | |ξ ′ |2 j,k=1 ≥ 奏理音ムイ（Vtuber） n X 1 ′2 |ξ | . 2 20 / 55

したがって，|ξ ′ | = 1 のとき， D = 4 n X !2 r0k ξk  + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − k=1 n X  rjk ξj ξk  ≥ j,k=1 1 4 となり，D ≥ 1 を得る．よって特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) は実であり， inf (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 n |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| ≥ inf n (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 D 1 ≥ 00 1+r 2 が成立する．よって作用素 L は（t 方向に）正規双曲型である． 奏理音ムイ（Vtuber） 21 / 55

エネルギー不等式
• g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n), L =

n
X

g jk (t, x)∂j ∂k

j,k=0

• (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1)
• rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x),

n
X
j,k=0

|rjk (t, x)| ≤

1
2

((t, x) ∈ [0, T ] × Rn )

Theorem 5
n ≥ 1, T > 0 とし，係数 g jk は上の仮定をみたすとする．関数 u = u(t, x) は，
u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ，ある R > 0 が存在して
supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする．このとき，


Z t
∥Lu(s, ·)∥L2 (Rn ) ds
∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ 2 ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn ) +
0


Z t X
n
× exp 
2
∥∂i g jk (s, ·)∥L∞ (Rn ) ds (t ∈ [0, T ]).
0

奏理音ムイ（Vtuber）

i,j,k=0

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証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する： n X e0 (u) := g 00 |∂0 u|2 − g jk ∂j u∂k u j,k=1 = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − n X rjk ∂j u∂k u, j,k=1 ej (u) := 2 n X g jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 また， R0 := (∂0 g 00 )|∂0 u|2 − n X (∂0 g jk )∂j u∂k u, j,k=1 Rj := 2 n X (∂j g jk )∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n) k=1 とおく． 奏理音ムイ（Vtuber） 23 / 55

このとき，次が成立する． (2) 2∂0 uLu = n X ∂j ej (u) − j=0 n X Rj . j=0 (∵) 左辺は 2∂0 uLu = 2∂0 u n X g jk ∂j ∂k u. j,k=0 右辺第 1 項は，g jk =g ∂0 e0 (u) = 2g 00 kj を用いると ∂0 u∂02 u − 2 n X g jk ∂j u∂0 ∂k u + R0 , j,k=1 ∂j ej (u) = 2 n X g jk (∂j ∂0 u∂k u + ∂0 u∂j ∂k u) + Rj (j = 1, . . . , n) k=0 となる．これらの和を計算すると式 (2) が成立することがわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 24 / 55

また，e0 (u) について次が成立する． 1 ′2 |u | ≤ e0 (u) ≤ 2|u′ |2 2 n X (∵) e0 (u) = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − rjk ∂j u∂k u だった．ここで (3) j,k=1 r00 |∂0 u|2 ≤ n X rjk ∂j u∂k u ≤ j,k=1 1 |∂0 u|2 , 2 n X j,k=1 |rjk | n X 1X |∂l u|2 . 2 n |∂l u|2 ≤ l=1 l=1 よって， 1 1X 1 e0 (u) ≥ |u | − |∂0 u|2 − |∂j u|2 ≥ |u′ |2 , 2 2 2 n ′ 2 l=1 n 1X 1 e0 (u) ≤ |u′ |2 + |∂0 u|2 + 2 2 奏理音ムイ（Vtuber） |∂j u|2 ≤ 2|u′ |2 . l=1 25 / 55

さらに，R := n X Rj について次が成立する． j=0 n X |R| ≤ 4e0 (u) (4) |∂i g jk |. i,j,k=0 (∵) |R| ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + n X j,k=1 n X j,k=1 n X ≤ 2|u′ |2 |∂0 g jk ||∂j u∂k u| + 2 |∂0 g jk | n X l=1 |∂l u|2 + n X j,k=1 n X |∂j g jk ||∂0 u∂k u| |∂j g jk |(|∂0 u|2 + |∂k u|2 ) j,k=1 |∂i g jk | i,j,k=0 n X ≤ 4e0 (u) |∂i g jk |. i,j,k=0 奏理音ムイ（Vtuber） 26 / 55

以上の準備のもと， Z E(t) := Rn e0 (u)(t, x) dx を評価しよう． Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx Rn Z n X = Rn j=0 式 (2) ∂j ej (u) dx Z = Rn （∵ u は空間遠方で 0） Z 2∂0 uLu dx + R dx Rn ≤ 2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) ∥∂0 u(t)∥L2 (Rn ) + ∥R∥L1 (Rn )   n X 式 (3),(4) √ 1 ∥∂i g jk (t)∥L∞ (Rn )  E(t). ≤ 2 2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) E(t) 2 + 4  i,j,k=0 奏理音ムイ（Vtuber） 27 / 55

よって，（E(t) > 0 である限りは）   1 1 1 ∂0 E(t) 2 = E(t)− 2 ∂0 E(t) 2 ≤ √  2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) + 2  n X  ∥∂i g jk (t)∥L∞ (Rn )  E(t) 2 . 1 i,j,k=0 したがって，   ∂0 E(t) exp −2 1 2 Z t X n  ∥∂i g jk (s)∥L∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 ≤ ≤ √ √  2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) exp −2 Z t X n  ∥∂i g jk (s)∥L∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 2∥Lu(t)∥L2 (Rn ) . 奏理音ムイ（Vtuber） 28 / 55

よって，（もしすべての s ∈ [0, t] で E(s) > 0 なら）上式を [0, t] で積分して，   √ Z t E(t) ≤ E(0) + 2 ∥Lu(s)∥L2 (Rn ) ds 0   Z t X n × exp  2 ∥∂i g jk (s)∥L∞ (Rn ) ds . 1 2 1 2 0 i,j,k=0 最後に式 (3) を使えば   Z t ∥u′ (t)∥L2 (Rn ) ≤ 2 ∥u′ (0)∥L2 (Rn ) + ∥Lu(s)∥L2 (Rn ) ds 0   Z t X n jk 2 ∥∂i g (s)∥L∞ (Rn ) ds . × exp  0 i,j,k=0 ※ [0, T ] のどこかで E(t) = 0 となる場合の議論については Theorem 3（前回） と同じ． 奏理音ムイ（Vtuber） 29 / 55

§4 Sobolev 空間における弱解の存在と一意性 n ≥ 1, T > 0 とし，2 階線形の双曲型偏微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える．この節では，係数は滑らか： g jk , bj , a ∈ C ∞ ([0, T ] × Rn ) (j, k = 0, . . . , n) かつすべての導関数が有界： ∂ α g jk , ∂ α bj , ∂ α a ∈ L∞ ([0, T ] × Rn ) (α ∈ Zn+1 ≥0 , j, k = 0, . . . , n) であるとする．また，g jk = g kj とする． 奏理音ムイ（Vtuber） 30 / 55

また，前節に引き続き， rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x), について n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 g0 := diag(1, −1, . . . , −1) ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する．Lemma 4 より，このとき L は（t 方向に）正規双曲型となる． さらに，最初から g 00 で全体を割っておくことにして，以下 g 00 ≡ 1 であるとする． 奏理音ムイ（Vtuber） 31 / 55

Sobolev ノルムに関するエネルギー不等式 Theorem 6 s ∈ Z とする．u を u∈ 2 \ C l ([0, T ]; H s+1−l (Rn )) l=0 をみたす関数とし， F := Lu ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) を仮定する．このとき，ある定数 Cs,T > 0 が存在して，任意の t ∈ (0, T ) に対し   Z t X X ∥∂ α u(0, ·)∥H s + ∥F (τ, ·)∥H s dτ  ∥∂ α u(t, ·)∥H s ≤ Cs,T  |α|≤1 |α|≤1 0 が成立する． 奏理音ムイ（Vtuber） 32 / 55

証明
Step 1 : s = 0 のとき
まず，次のことを確認する．

Claim 1
Theorem 5 の結論

∥u′ (t, ·)∥L2 (Rn ) ≤ 2 ∥u′ (0, ·)∥L2 (Rn ) +

× exp 

Z t
∥
0

Z t

n
X

2
0

n
X
j,k=0


g jk (t, x)∂j ∂k u(τ, ·)∥L2 (Rn ) dτ 


∥∂i g jk (τ, ·)∥L∞ (Rn ) dτ 

(t ∈ [0, T ]).

i,j,k=0

は，仮定を「u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R}」から

u ∈ C([0, T ]; H 2 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; L2 (Rn ))
に変えてもそのまま成立する．
奏理音ムイ（Vtuber）

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Claim 1 の証明 Theorem 5 の証明の中で問題になるのは Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx, Rn Z ∂j ej (u) dx = 0 (j = 1, . . . , n) Rn の成立だけだが，u の仮定と e0 (u) := |∂0 u|2 −  n X Pn j,k=1 g jk ∂j u∂k u から  d  (∂0 u, ∂0 u)L2 − (g jk ∂j u, ∂k u)L2  dt j,k=1   n n X X (∂0 g jk ∂j u, ∂k u)L2 (g jk ∂j u, ∂0 ∂k u)L2  − = 2 (∂0 u, ∂02 u)L2 − ∂0 E(t) = j,k=1 Z = Rn j,k=1 ∂0 e0 (u) dx. よって一つ目の等式が成立． 奏理音ムイ（Vtuber） 34 / 55

次に二つ目の等式を示す．ej (u) の定義 ej (u) := 2 そう． Pn k=0 g jk ∂0 u∂k u を思い出 t ∈ [0, T ] を任意にとり固定する．埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H s (Rn ) の稠密性から， ∞ ∞ n 点列 {φm }∞ m=1 , {ψl }l=1 ⊂ C0 (R ) で φm → ∂k u(t) (m → ∞), ψl → ∂0 u(t) (l → ∞) in H 1 (Rn ) となるものが存在する．これより， Z ∂j (g jk (t, x)∂0 u(t, x)∂k u(t, x)) dx = Rn Z lim l,m→∞ Rn ∂j (g jk (t, x)ψl (x)φm (x)) dx =0 となるので， Z Rn ∂j ej (u) dx = 0 が成立することがわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 35 / 55

次に，軟化子を用いて次のようにさらに仮定を弱めることができる． Claim 2 Theorem 5 の結論は仮定をさらに u ∈ C([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; H −1 (Rn )), n X G := g jk ∂j ∂k u ∈ L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) j,k=1 に変えてもそのまま成立する． Claim 2 の証明 ρ ∈ C0∞ (Rn ), ρ ≥ 0, Z ρ(x) dx = 1 をみたす関数 ρ をとる． Rn −n ε > 0 に対し ρε (x) := ε ρ(x/ε) とおく． （∥ρε ∥L1 = ∥ρ∥L1 に注意する． ） 奏理音ムイ（Vtuber） 36 / 55

n X g jk (t, x)∂j ∂k u(t, x) = G(t, x) j,k=1 の両辺と ρε との空間変数についてのたたみこみをとる． Z uε (t, x) := (ρε ∗ u(t, ·))(x) = ρε (x − y)u(t, y) dy Rn とおくと， ρε ∗ (g jk ∂j ∂k u) = g jk ∂j ∂k (ρε ∗ u) − [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u. ただし [A, B] は交換子 [A, B] = AB − BA を表す．さらに Gε := ρε ∗ G とお くと， n n X X g jk ∂j ∂k uε = Gε + [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u j,k=1 j,k=1 | {z } =:Rε u 奏理音ムイ（Vtuber） 37 / 55

uε ∈ T2 l 2−l (Rn )) より，Claim 1 を適用することができて， l=0 C ([0, T ]; H   Z t ∥u′ε (t)∥L2 ≤ 2 ∥u′ε (0)∥L2 + (∥Gε (τ )∥L2 + ∥Rε u(τ )∥L2 ) dτ 0   Z t X n × exp 2 ∥∂i g jk (τ )∥L∞ dτ  . 0 i,j,k=0 この式で ε → 0 の極限移行を行う．まず軟化子の性質から ε → 0 のとき u′ε (t) → u′ (t), Gε → G u′ε (0) → u′ (0), in L2 (Rn ), in L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) がわかる ‡ ． ‡ 一般に f ∈ L2 (Rn ) に対し ∥ρ ∗ f ∥ ε L2 ≤ ∥f ∥L2 と limε→0 ∥ρε ∗ f − f ∥L2 = 0 が成立するこ と（[Racke, Lemma 4.2] 等を参照）および Lebesgue の収束定理からわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 38 / 55

最後に Rε u を含む項については，次の補題と Lebesgue の収束定理を適用すれば Z t ∥Rε u(τ )∥L2 dτ = 0 lim ε→0 0 となることがしたがう． Lemma 7 f ∈ H 1 (Rn ) に対し， (i) f に依らないある定数 C(g jk , ρ) > 0 が存在して， ∥[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f ∥L2 ≤ C(g jk , ρ)∥f ∥H 1 . (ii) limε→0 ∥[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f ∥L2 = 0. Lemma 7 の証明 埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H 1 (Rn ) の稠密性から，f ∈ C0∞ (Rn ) として (i), (ii) を示せ ば十分である． 奏理音ムイ（Vtuber） 39 / 55

(i) を示す． [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) = ρε ∗ (g jk ∂j ∂k f ) − g jk (ρε ∗ ∂j ∂k f ) Z  =− ρε (x − y) g jk (t, x) − g jk (t, y) ∂j ∂k f (y) dy n Z R  = ∂yj ρε (x − y)(g jk (t, x) − g jk (t, y)) ∂k f (y) dy n R Z =− ∂j g jk (t, y)ρε (x − y)∂k f (y) dy n ZR  jk − g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy Rn =: I + II. ここで，たたみこみに関する Young の不等式より， ∥I∥L2 ≤ C∥∂j g jk ∥L∞ ∥ρε ∥L1 ∥∂k f ∥L2 ≤ C∥f ∥H 1 . 奏理音ムイ（Vtuber） 40 / 55

次に， Z II = − Rn  jk g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy について， |g jk (t, x) − g jk (t, y)| ≤ ∥∇x g jk ∥L∞ |x − y| t,x および |y|(∂j ρε )(y) = ε−1 |y| · ε−n (∂j ρ) y ε ∈ L1 (Rn ) より ∥II∥L2 ≤ C∥∇x g jk ∥L∞ ∥|y|ρ∥L1 ∥∂k f ∥L2 ≤ C∥f ∥H 1 . t,x これで (i) が示された． 奏理音ムイ（Vtuber） 41 / 55

(ii) を示す． Z Rn  ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) dy = 0 より， [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) Z  = ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) · (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z =− (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z − (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn =: III + IV. 奏理音ムイ（Vtuber） 42 / 55

Z III = − Rn (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について，Hölder の不等式より， Z 1 |III(x)|2 ≤ ∥∂j g jk ∥2L∞ ∥ρ ∥ ρε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy ε L t,x |x−y|<ε Z ≤C ρε (y)|∂k f (x − y) − ∂k f (x)|2 dy. |y|<ε これより， Z ∥III∥2L2 ≤ C |y|<ε ρε (y)∥∂k f (· − y) − ∂k f (·)∥2L2 dy ここで f ∈ C0∞ より，任意の δ > 0 に対し，ε が十分小ならば sup ∥∂k f (· − y) − ∂k f (·)∥2L2 ≤ δ |y|<ε とでき， 2 ∥III∥L 2 ≤ C∥ρ∥L1 δ. 奏理音ムイ（Vtuber） 43 / 55

次に Z IV = − Rn (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について，II と同様に考えて，ρ̃ε (y) = |y|(∂j ρε )(y) と書くと， Z 1 |IV (x)|2 ≤ C∥∇x g jk ∥2L∞ ∥ρ̃ ∥ ρ̃ε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy. ε L t,x |x−y|<ε あとは III と全く同様の議論で，任意の δ > 0 に対して ε が十分小のとき ∥IV ∥2L2 ≤ Cδ とできる． 奏理音ムイ（Vtuber） 44 / 55

Theorem 6 (Step 1: s = 0 の場合) の証明（続き） Claim 2 を n X g jk (t, x)∂j ∂k u = − n X bj (t, x)∂j u − a(t, x)u + F (t, x) j=0 j,k=0 について適用して，  ∥u′ (t)∥L2 ≤ CT ∥u′ (0)∥L2 +  ≤ CT ∥u′ (0)∥L2 + Z t 0 Z t 0  ∥F ∥L2 + ∥  ∥F ∥L2 + n X j=0 X   bj ∂j u + au∥L2  dτ    ∥∂ α u∥L2  dτ  |α|≤1 を得る § ． § C は T, g jk , bj , c から決まる定数．ただし，以降は各行ごとに C の値は変わってもよいこと T T にする． 奏理音ムイ（Vtuber） 45 / 55

これと微積分の基本定理からしたがう Z t ∥u(t)∥L2 ≤ ∥u(0)∥L2 + ∥∂t u(τ )∥L2 dτ 0 を合わせて（前ページ不等式の右辺が t について単調増加であることにも注意す ると），     Z t X X X ∥F ∥L2 + ∥∂ α u(t)∥L2 ≤ CT  ∥∂ α u(0)∥L2 + ∥∂ α u∥L2  dτ  . |α|≤1 0 |α|≤1 |α|≤1 最後に Gronwall の不等式より， X  ∥∂ α u(t)∥L2 ≤ CT  |α|≤1 X |α|≤1 Z t ∥∂ α u(0)∥L2 +  ∥F ∥L2 dτ  0 を得る．これで (Step 1: s = 0 の場合) の証明が完了した． 奏理音ムイ（Vtuber） 46 / 55

Step 2 : s ∈ N のとき ∂xβ を x 変数に関する β 階の微分作用素とすると， L∂xβ u = ∂xβ Lu + [L, ∂xβ ]u = ∂xβ F + [L, ∂xβ ]u と表すと，交換子 [L, ∂xβ ] は |β| + 1 階の微分作用素で，t についての微分は 1 階 までしか含まない． そこで，|β| ≤ s として，∂xβ u に対して Step 1 の結果を適用すると， X |α|≤1 ∥∂ α ∂xβ u(t)∥L2  ≤ CT  X Z t ∥∂ α ∂xβ u(0)∥L2 + ≤ Cs,T (∥[L, ∂xβ ]u∥L2 + ∥∂xβ F ∥L2 ) dτ  0 |α|≤1  X  ∥∂ α ∂xβ u(0)∥L2 + |α|≤1 奏理音ムイ（Vtuber） Z t X  ( ∥∂ α ∂xγ u(τ )∥L2 + ∥∂xβ F (τ )∥L2 ) dτ 0 |α|≤1, |γ|≤s 47 / 55

いま得られた評価 X ∥∂ α ∂xβ u(t)∥L2 |α|≤1 ≤ Cs,T  X ∥∂ α ∂xβ u(0)∥L2 + |α|≤1 Z t X  ( ∥∂ α ∂xγ u(τ )∥L2 + ∥∂xβ F (τ )∥L2 ) dτ 0 |α|≤1, |γ|≤s について，両辺で |β| ≤ s 全体にわたる和をとると， X ∥∂ α u(t)∥H s |α|≤1  ≤ Cs,T  X |α|≤1  Z t X ∥∂ α u(0)∥H s + ( ∥∂ α u(τ )∥H s + ∥F (τ )∥H s ) dτ  0 |α|≤1 さらに Gronwall の不等式を適用すると，s ∈ N の場合の求める評価   Z t X X ∥∂ α u(t)∥H s ≤ Cs,T  ∥∂ α u(0)∥H s + ∥F (τ )∥H s dτ  |α|≤1 |α|≤1 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 48 / 55

Step 3 : s が負の整数のとき Step 2 の結果を v(t, x) := (I − ∆)s u(t, x) に対して適用する．Fourier 変換による Sobolev ノルムの表現より s ∥v(t)∥H −s ∼ ∥(I − ∆) 2 u(t)∥L2 ∼ ∥u(t)∥H s が成立する ¶ ．−s ∈ N に注意して，v に Step 2 の結果を適用すると，   Z t X X (5) ∥Lv(τ )∥H −s dτ  . ∥∂ α v(t)∥H −s ≤ Cs,T  ∥∂ α v(0)∥H −s + |α|≤1 |α|≤1 0 次に右辺の ∥Lv(τ )∥H −s を評価していく． ¶ ここで，a ∼ b はある定数 C > 0 について C −1 a ≤ b ≤ Ca が成り立つことを意味する． 奏理音ムイ（Vtuber） 49 / 55

ここで， (I − ∆)−s Lv = Lu + [(I − ∆)−s , L]v = F + [(I − ∆)−s , L]v より， ∥Lv(τ )∥H −s ∼ ∥(I − ∆)−s Lv(τ )∥H s ≤ ∥F (τ )∥H s + ∥[(I − ∆)−s , L]v(τ )∥H s . 交換子 [(I − ∆)−s , L] は −2s + 1 階以下の微分作用素で，t についての微分は 高々1 階までしか含まない．したがって， X [(I − ∆)−s , L]v = ∂xβ (aαβγ (t, x)∂xγ ∂ α v) |α|≤1, |β|,|γ|≤−s の形に表される．ただし，ここで aαβγ は C ∞ 級かつすべての導関数が有界な関 数である（g jk , bj , a の導関数を使って表される）． 奏理音ムイ（Vtuber） 50 / 55

s 上の表示と，(I − ∆) 2 ∂xβ が L2 で有界になることから， X s ∥[(I − ∆)−s , L]v(τ )∥H s = ∥ (I − ∆) 2 ∂xβ (aαβγ ∂xγ ∂ α v(τ ))∥L2 |α|≤1, |β|,|γ|≤−s ≤ Cs,T X ∥∂xγ ∂ α v(τ )∥L2 |α|≤1, |γ|≤−s ≤ Cs,T X ∥∂ α v(τ )∥H −s . |α|≤1 これを式 (5) に適用して，   Z t X X ∥∂ α v(t)∥H −s ≤ Cs,T  ∥∂ α v(0)∥H −s + ∥Lv(τ )∥H −s dτ  |α|≤1  ≤ Cs,T  X |α|≤1 奏理音ムイ（Vtuber） 0 |α|≤1 Z t ∥∂ α v(0)∥H −s + (∥F (τ )∥H s + 0 X  ∥∂ α v(τ )∥H −s ) dτ  . |α|≤1 51 / 55

Gronwall の不等式を適用すると，   Z t X X ∥∂ α v(0)∥H −s + ∥∂ α v(t)∥H −s ≤ Cs,T  ∥F (τ )∥H s dτ  . |α|≤1 0 |α|≤1 最後に， X ∥∂ α v(t)∥H −s ∼ X ∥∂ α u(t)∥H s |α|≤1 |α|≤1 に注意すると，求める評価 X  ∥∂ α u(t)∥H s ≤ Cs,T  |α|≤1 X |α|≤1 Z t ∥∂ α u(0)∥H s +  ∥F (τ )∥H s dτ  . 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 52 / 55

記号表 • t ∈ R：時間変数 • x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ：空間変数 • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • u′ = ∇u = (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u) • □ = ∂t2 − ∆：d’ALembertian • g0 = (g0jk )j,k=0,...,n = diag(1, −1, . . . , −1) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn )：実数値，g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • u = u(t, x)：未知関数 • F (t, x)：外力（given），実数値 • u0 (x), u1 (x)：初期値（given），実数値 奏理音ムイ（Vtuber） 53 / 55

記号表 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対して， n X • L0 = g jk (t, x)∂j ∂k ：主要部 j,k=0 • p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk (ξ0 ∈ R, ξ ′ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn )：特性 j,k=0 多項式 • λ± (t, x, ξ ′ )：特性根 n n X X • L∗ ψ = ∂j ∂k (g jk ψ) − ∂j (bj ψ) + aψ ：L の共役作用素 j,k=0 奏理音ムイ（Vtuber） j=0 54 / 55

記号表 s ∈ N ∪ {0} に対し，  H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし，微分は超関数の意味の微分とする．この空間を Sobolev 空間とよぶ．特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である．また，負の整数 s に対して， H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める ‖ ． また，区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し， C(I; X) := {u : I → X;（X の位相について）連続 }, C k (I; X) := {u : I → X;（X の位相について）C k 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. ‖ Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる． 奏理音ムイ（Vtuber） 55 / 55