§1. 2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題 n ≥ 1 とし,波動方程式の微分作用素である d’Alembertian □ = ∂t2 − ∆ を一般 化した微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 について,初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える.ただし,ここで • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn ):実数値,g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • F (t, x):外力(given),実数値 • u0 (x), u1 (x):初期値(given),実数値 奏理音ムイ(Vtuber) 1 / 74
初期値問題の適切性 初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn が適切(well-posed)であるとは, 1 解の存在 2 解の一意性 3 解のデータに関する連続依存性 が成立することをいう(Hadamard, 1902). 奏理音ムイ(Vtuber) 2 / 74
双曲型作用素 以下,すべての (t, x) ∈ R × Rn について g 00 (t, x) 6= 0 とする.微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対し,最高階の微分の部分 L0 = n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を L の主要部(principal part)という. また,L0 の ∂ = (∂0 , ∂1 , . . . , ∂n ) を ξ = (ξ0 , ξ ′ ) = (ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) でおきかえて 得られる ξ の多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を L の特性多項式(characteristic polynomial)という. 奏理音ムイ(Vtuber) 3 / 74
いま,g 00 (t, x) 6= 0 の仮定より,特性多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を ξ0 の多項式とみると,2 次の多項式となる.その根は 1/2 2 n n n X X X 1 ± ′ 0j 0j 00 jk . λ (t, x, ξ ) = 00 − g ξj ± g ξj ξk g ξj −g g j=1 j=1 j,k=1 これらを L の特性根(characteristic roots)という. 奏理音ムイ(Vtuber) 4 / 74
Definition 1 微分作用素 L が(t 方向に)双曲型(hyperbolic)であるとは,任意の (t, x, ξ ′ ) ∈ R × Rn × Rn に対して,L の特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) が実数であるときを いう. また,L が正規双曲型(regularly hyperbolic)であるとは,L が双曲型でありかつ, inf (t,x)∈R×Rn |ξ ′ |=1 |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| > 0 が成立するときをいう. ※ L が d’Alembertian に適当な意味で十分近い (i.e., 行列 (g jk )0≤j,k≤n が diag(1, −1, . . . , −1) に十分近い)ならば,L は正規 双曲型となる. 目標 L が d’Alembertian に適当な意味で十分近いときに,L に対する初期値問題の適 切性を証明すること. 奏理音ムイ(Vtuber) 5 / 74
§2. 弱解の定義 T > 0 として,微分作用素 L= n X j,k=0 jk g (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (IVP) (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn を考える.係数 g jk , bj , a は C 2 ([0, T ) × Rn ) に属し,実数値であるとする.また g jk = g kj とする. u ∈ C 2 ([0, T ) × Rn ) は (IVP) の解であるとしよう ∗ .C 2 級の関数で (IVP) を各 点の意味でみたすものを古典解(classical solution)とよぶ. ∗ このとき u ∈ C 2 (Rn ), u ∈ C 1 (Rn ), F ∈ C([0, T ) × Rn ) がしたがう. 0 1 奏理音ムイ(Vtuber) 6 / 74
いま,テスト関数 ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) を任意に取り,方程式 Lu = F に掛 けて (0, T ) × Rn で積分すると, ZZ ZZ ψF dtdx = ψLu dtdx (0,T )×Rn (0,T )×Rn ZZ = ψ (0,T )×Rn n X g jk ∂j ∂k u + n X j=0 j,k=0 bj ∂j u + au dtdx. ここで,部分積分により, ZZ ψg 00 ∂02 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx − Z =− Rn Z ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx + ZZ + (0,T )×Rn 奏理音ムイ(Vtuber) ∂0 (ψg 00 )∂0 u dtdx (0,T )×Rn Rn (∂0 (ψg 00 ))(0, x)u0 (x) dx ∂02 (ψg 00 )u dtdx. 7 / 74
同様に, ZZ ψ (0,T )×Rn n X ZZ g ∂j ∂0 u dtdx ZZ n X (0,T )×Rn n X = ZZ ψ (0,T )×Rn j=1 =− Z j0 Rn j=1 n X ! 0k g ∂0 ∂k u dtdx も同じ k=1 ∂j (ψg j0 )∂0 u dtdx j=1 ZZ n X (∂j (ψg j0 ))(0, x)u0 (x) dx + ∂0 ∂j (ψg j0 )u dtdx, (0,T )×Rn j=1 ψb0 ∂0 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)b0 (0, x)u0 (x) dx − 奏理音ムイ(Vtuber) ∂0 (ψb0 )u dtdx. (0,T )×Rn 8 / 74
以上より,作用素 L∗ を L∗ ψ = n X j,k=0 ∂j ∂k (g jk ψ) − n X ∂j (bj ψ) + aψ j=0 と定義すると,等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ (L∗ ψ)u dtdx = (0,T )×Rn Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx Z n X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx Rn Rn j=1 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 9 / 74
上で得られた等式は,u の微分可能性がなくても意味をもつ式である.これをも とに,(IVP) の弱解を以下のように定義する. 記号 s ∈ N ∪ {0} に対し, H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし,微分は超関数の意味の微分とする.この空間を Sobolev 空間とよぶ.特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である.また,負の整数 s に対して, H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める † . また,区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し, C(I; X) := {u : I → X;(X の位相について)連続 }, C 1 (I; X) := {u : I → X;(X の位相について)C 1 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. † Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる. 奏理音ムイ(Vtuber) 10 / 74
Definition 2 s ∈ N ∪ {0} とする.u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ), F ∈ L1 ([0, T ); H s (Rn )) と する.u ∈ C([0, T ); H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ); H s (Rn )) が初期値問題 (IVP) の弱解 (weak solution)であるとは,任意の ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) に対して等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ = (L∗ ψ)u dtdx n (0,T )×R Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx Rn Z n X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx Rn j=1 が成立するときをいう . s が負の整数のときも,空間変数の積分を ⟨·, ·⟩H s ,H −s の意味に適宜読み替え,係数にも追加の 滑らかさを仮定すれば同様にして弱解が定義できる. 奏理音ムイ(Vtuber) 11 / 74
§3. エネルギー不等式
§3.1 d’Alembertian に対するエネルギー不等式
u′ = ∇u := (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u)
1
g0 = (g0jk )j,k=0,...,n := diag(1, −1, . . . , −1) =
□ := ∂02 − ∆ =
−1
..
.
−1
Pn
jk
j,k=0 g0 ∂j ∂k
Theorem 3
n ≥ 1, T > 0 とする.関数 u = u(t, x) は,u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ,ある
R > 0 が存在して supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする.このとき,
ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ ku′ (0, ·)kL2 (Rn ) +
Z t
k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds (t ∈ [0, T ])
0
が成立する.特に □u = 0 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) のときは等号で成立する:
ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) = ku′ (0, ·)kL2 (Rn )
奏理音ムイ(Vtuber)
(t ∈ [0, T ]).
12 / 74
証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する: e0 (u) := |u′ |2 = n X |∂k u|2 k=0 = g000 |∂0 u|2 − n X g0jk ∂j u∂k u, j,k=1 (後で一般化する場合に見通しを良くするため,あえてこのようにも書いておく) ej (u) := −2∂0 u∂j u n X =2 g0jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 このとき,次が成立する. (1) ′ 2 2∂0 u□u = ∂0 |u | − 2 n X j=1 奏理音ムイ(Vtuber) ∂j (∂0 u∂j u) = n X ∂j ej (u). j=0 13 / 74
式 (1) の証明: ∂0 |u′ |2 = ∂0 |∂0 u|2 + n X |∂j u|2 = 2 ∂02 u∂0 u + j=1 −2 n X ∂j (∂0 u∂j u) = −2 j=1 n X ∂0 ∂j u∂j u , j=1 n X ∂j ∂0 u∂j u + ∂0 u∂j2 u . j=1 この右辺どうしの和をとると 2∂0 u□u になる. 奏理音ムイ(Vtuber) 14 / 74
supp u ∈ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} に注意して ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) を t で微分す ると, Z ∂0 ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) = ∂0 |u′ |2 dx n R Z n X ∂0 |u′ |2 − 2 ∂j (∂0 u∂j u) dx = Rn j=1 (∵ u は空間遠方で 0) Z n X = Rn j=0 ∂j ej (u) dx Z =2 Rn ′ ∂0 u□u dx (∵ 式 (1)) ≤ 2ku (t, ·)kL2 (Rn ) k□u(t, ·)kL2 (Rn ) . 下から 2 行目までの等式から,特に □u ≡ 0 なら ∂0 ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) = 0 となり ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) は一定となることが分かる(定理の主張の後半部分). 奏理音ムイ(Vtuber) 15 / 74
一方,左辺は(ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) > 0 である限りは) ∂0 ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) = 2ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ∂0 ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) であるから,これを前の不等式に用いて 2ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ∂0 ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ 2ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) k□u(t, ·)kL2 (Rn ) , すなわち ∂0 ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ k□u(t, ·)kL2 (Rn ) . (もしすべての s ∈ [0, t] について ku′ (s, ·)kL2 (Rn ) > 0 ならば)上式で t を s に置 き換えたものを [0, t] 上で積分して, ′ ku (t, ·)k L2 (Rn ) ′ Z t ≤ ku (0, ·)k L2 (Rn ) k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds + 0 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 16 / 74
もし ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) > 0 かつ,ある s ∈ [0, t) について ku′ (s, ·)kL2 (Rn ) = 0 とな る場合には,そのような s のうち [0, t) における最大のもの s∗ をとって,[0, t] の 代わりに s ∈ [s∗ , t] で積分すれば ′ ku (t, ·)k L2 (Rn ) Z t ′ ≤ ku (s∗ , ·)k L2 (Rn ) k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds + s∗ Z t k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds = s∗ (∵ ku′ (s∗ , ·)kL2 (Rn ) = 0 ) ′ Z t ≤ ku (0, ·)kL2 (Rn ) + k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds 0 となってやはり求める不等式を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 17 / 74
§3.2. 変数係数双曲型作用素に対するエネルギー不等式 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を考える. • g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1) • rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x) とし, n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する. Lemma 4 上の仮定のもとで,L は(t 方向に)正規双曲型となる. 奏理音ムイ(Vtuber) 18 / 74
証明 特性多項式は, p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 = ξ02 − |ξ ′ |2 + n X rjk (t, x)ξj ξk j,k=0 = (1 + r 00 )ξ02 + 2 n X ! 0k r ξk ξ0 − |ξ ′ |2 + k=1 n X rjk ξj ξk . j,k=1 これを ξ0 の 2 次多項式とみて,判別式 D を計算すると, !2 n n X X D = r0k ξk + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − rjk ξj ξk . 4 k=1 奏理音ムイ(Vtuber) j,k=1 19 / 74
ここで,仮定 n X |rjk (t, x)| ≤ j,k=0 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) より, 1 ≤ 1 + r00 ≤ 2 2 および |ξ ′ |2 − n X rjk ξj ξk ≥ |ξ ′ |2 − j,k=1 |rjk | |ξ ′ |2 j,k=1 ≥ 奏理音ムイ(Vtuber) n X 1 ′2 |ξ | . 2 20 / 74
したがって,|ξ ′ | = 1 のとき, D = 4 n X !2 r0k ξk + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − k=1 n X rjk ξj ξk ≥ j,k=1 1 4 となり,D ≥ 1 を得る.よって特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) は実であり, inf (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 n |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| ≥ inf n (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 D 1 ≥ 00 1+r 2 が成立する.よって作用素 L は(t 方向に)正規双曲型である. 奏理音ムイ(Vtuber) 21 / 74
エネルギー不等式
• g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n), L =
n
X
g jk (t, x)∂j ∂k
j,k=0
• (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1)
• rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x),
n
X
j,k=0
|rjk (t, x)| ≤
1
2
((t, x) ∈ [0, T ] × Rn )
Theorem 5
n ≥ 1, T > 0 とし,係数 g jk は上の仮定をみたすとする.関数 u = u(t, x) は,
u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ,ある R > 0 が存在して
supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする.このとき,
Z t
kLu(s, ·)kL2 (Rn ) ds
ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ 2 ku′ (0, ·)kL2 (Rn ) +
0
Z t X
n
× exp
2
k∂i g jk (s, ·)kL∞ (Rn ) ds (t ∈ [0, T ]).
0
奏理音ムイ(Vtuber)
i,j,k=0
22 / 74
証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する: n X e0 (u) := g 00 |∂0 u|2 − g jk ∂j u∂k u j,k=1 = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − n X rjk ∂j u∂k u, j,k=1 ej (u) := 2 n X g jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 また, R0 := (∂0 g 00 )|∂0 u|2 − n X (∂0 g jk )∂j u∂k u, j,k=1 Rj := 2 n X (∂j g jk )∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n) k=1 とおく. 奏理音ムイ(Vtuber) 23 / 74
このとき,次が成立する. (2) 2∂0 uLu = n X ∂j ej (u) − j=0 n X Rj . j=0 (∵) 左辺は 2∂0 uLu = 2∂0 u n X g jk ∂j ∂k u. j,k=0 右辺第 1 項は,g jk =g ∂0 e0 (u) = 2g 00 kj を用いると ∂0 u∂02 u − 2 n X g jk ∂j u∂0 ∂k u + R0 , j,k=1 ∂j ej (u) = 2 n X g jk (∂j ∂0 u∂k u + ∂0 u∂j ∂k u) + Rj (j = 1, . . . , n) k=0 となる.これらの和を計算すると式 (2) が成立することがわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 24 / 74
また,e0 (u) について次が成立する. 1 ′2 |u | ≤ e0 (u) ≤ 2|u′ |2 2 n X (∵) e0 (u) = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − rjk ∂j u∂k u だった.ここで (3) j,k=1 r00 |∂0 u|2 ≤ n X rjk ∂j u∂k u ≤ j,k=1 1 |∂0 u|2 , 2 n X j,k=1 |rjk | n X 1X |∂l u|2 . 2 n |∂l u|2 ≤ l=1 l=1 よって, 1 1X 1 e0 (u) ≥ |u | − |∂0 u|2 − |∂j u|2 ≥ |u′ |2 , 2 2 2 n ′ 2 l=1 n 1X 1 e0 (u) ≤ |u′ |2 + |∂0 u|2 + 2 2 奏理音ムイ(Vtuber) |∂j u|2 ≤ 2|u′ |2 . l=1 25 / 74
さらに,R := n X Rj について次が成立する. j=0 n X |R| ≤ 4e0 (u) (4) |∂i g jk |. i,j,k=0 (∵) |R| ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + n X j,k=1 n X j,k=1 n X ≤ 2|u′ |2 |∂0 g jk ||∂j u∂k u| + 2 |∂0 g jk | n X l=1 |∂l u|2 + n X j,k=1 n X |∂j g jk ||∂0 u∂k u| |∂j g jk |(|∂0 u|2 + |∂k u|2 ) j,k=1 |∂i g jk | i,j,k=0 n X ≤ 4e0 (u) |∂i g jk |. i,j,k=0 奏理音ムイ(Vtuber) 26 / 74
以上の準備のもと, Z E(t) := Rn e0 (u)(t, x) dx を評価しよう. Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx Rn Z n X = Rn j=0 式 (2) ∂j ej (u) dx Z = Rn (∵ u は空間遠方で 0) Z 2∂0 uLu dx + R dx Rn ≤ 2kLu(t)kL2 (Rn ) k∂0 u(t)kL2 (Rn ) + kRkL1 (Rn ) n X 式 (3),(4) √ 1 k∂i g jk (t)kL∞ (Rn ) E(t). ≤ 2 2kLu(t)kL2 (Rn ) E(t) 2 + 4 i,j,k=0 奏理音ムイ(Vtuber) 27 / 74
よって,(E(t) > 0 である限りは) 1 1 1 ∂0 E(t) 2 = E(t)− 2 ∂0 E(t) 2 ≤ √ 2kLu(t)kL2 (Rn ) + 2 n X k∂i g jk (t)kL∞ (Rn ) E(t) 2 . 1 i,j,k=0 したがって, ∂0 E(t) exp −2 1 2 Z t X n k∂i g jk (s)kL∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 ≤ ≤ √ √ 2kLu(t)kL2 (Rn ) exp −2 Z t X n k∂i g jk (s)kL∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 2kLu(t)kL2 (Rn ) . 奏理音ムイ(Vtuber) 28 / 74
よって,(もしすべての s ∈ [0, t] で E(s) > 0 なら)上式を [0, t] で積分して, √ Z t E(t) ≤ E(0) + 2 kLu(s)kL2 (Rn ) ds 0 Z t X n × exp 2 k∂i g jk (s)kL∞ (Rn ) ds . 1 2 1 2 0 i,j,k=0 最後に式 (3) を使えば Z t ku′ (t)kL2 (Rn ) ≤ 2 ku′ (0)kL2 (Rn ) + kLu(s)kL2 (Rn ) ds 0 Z t X n jk 2 k∂i g (s)kL∞ (Rn ) ds . × exp 0 i,j,k=0 ※ [0, T ] のどこかで E(t) = 0 となる場合の議論については Theorem 3(前回) と同じ. 奏理音ムイ(Vtuber) 29 / 74
§4 Sobolev 空間における弱解の存在と一意性 n ≥ 1, T > 0 とし,2 階線形の双曲型偏微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える.この節では,係数は滑らか: g jk , bj , a ∈ C ∞ ([0, T ] × Rn ) (j, k = 0, . . . , n) かつすべての導関数が有界: ∂ α g jk , ∂ α bj , ∂ α a ∈ L∞ ([0, T ] × Rn ) (α ∈ Zn+1 ≥0 , j, k = 0, . . . , n) であるとする.また,g jk = g kj とする. 奏理音ムイ(Vtuber) 30 / 74
また,前節に引き続き, rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x), について n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 g0 := diag(1, −1, . . . , −1) ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する.Lemma 4 より,このとき L は(t 方向に)正規双曲型となる. さらに,最初から g 00 で全体を割っておくことにして,以下 g 00 ≡ 1 であるとする. 奏理音ムイ(Vtuber) 31 / 74
Sobolev ノルムに関するエネルギー不等式 Theorem 6 s ∈ Z とする.u を u∈ 2 \ C l ([0, T ]; H s+1−l (Rn )) l=0 をみたす関数とし, F := Lu ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) を仮定する.このとき,ある定数 Cs,T > 0 が存在して,任意の t ∈ (0, T ) に対し Z t X X k∂ α u(0, ·)kH s + kF (τ, ·)kH s dτ k∂ α u(t, ·)kH s ≤ Cs,T |α|≤1 |α|≤1 0 が成立する. 奏理音ムイ(Vtuber) 32 / 74
証明
Step 1 : s = 0 のとき
まず,次のことを確認する.
Claim 1
Theorem 5 の結論
ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ 2 ku′ (0, ·)kL2 (Rn ) +
× exp
Z t
k
0
Z t
n
X
2
0
n
X
j,k=0
g jk (t, x)∂j ∂k u(τ, ·)kL2 (Rn ) dτ
k∂i g jk (τ, ·)kL∞ (Rn ) dτ
(t ∈ [0, T ]).
i,j,k=0
は,仮定を「u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R}」から
u ∈ C([0, T ]; H 2 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; L2 (Rn ))
に変えてもそのまま成立する.
奏理音ムイ(Vtuber)
33 / 74
Claim 1 の証明 Theorem 5 の証明の中で問題になるのは Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx, Rn Z ∂j ej (u) dx = 0 (j = 1, . . . , n) Rn の成立だけだが,u の仮定と e0 (u) := |∂0 u|2 − n X Pn j,k=1 g jk ∂j u∂k u から d (∂0 u, ∂0 u)L2 − (g jk ∂j u, ∂k u)L2 dt j,k=1 n n X X (∂0 g jk ∂j u, ∂k u)L2 (g jk ∂j u, ∂0 ∂k u)L2 − = 2 (∂0 u, ∂02 u)L2 − ∂0 E(t) = j,k=1 Z = Rn j,k=1 ∂0 e0 (u) dx. よって一つ目の等式が成立. 奏理音ムイ(Vtuber) 34 / 74
次に二つ目の等式を示す.ej (u) の定義 ej (u) := 2 そう. Pn k=0 g jk ∂0 u∂k u を思い出 t ∈ [0, T ] を任意にとり固定する.埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H s (Rn ) の稠密性から, ∞ ∞ n 点列 {φm }∞ m=1 , {ψl }l=1 ⊂ C0 (R ) で φm → ∂k u(t) (m → ∞), ψl → ∂0 u(t) (l → ∞) in H 1 (Rn ) となるものが存在する.これより, Z ∂j (g jk (t, x)∂0 u(t, x)∂k u(t, x)) dx = Rn Z lim l,m→∞ Rn ∂j (g jk (t, x)ψl (x)φm (x)) dx =0 となるので, Z Rn ∂j ej (u) dx = 0 が成立することがわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 35 / 74
次に,軟化子を用いて次のようにさらに仮定を弱めることができる. Claim 2 Theorem 5 の結論は仮定をさらに u ∈ C([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; H −1 (Rn )), n X G := g jk ∂j ∂k u ∈ L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) j,k=1 に変えてもそのまま成立する. Claim 2 の証明 ρ ∈ C0∞ (Rn ), ρ ≥ 0, Z ρ(x) dx = 1 をみたす関数 ρ をとる. Rn −n ε > 0 に対し ρε (x) := ε ρ(x/ε) とおく. (kρε kL1 = kρkL1 に注意する. ) 奏理音ムイ(Vtuber) 36 / 74
n X g jk (t, x)∂j ∂k u(t, x) = G(t, x) j,k=1 の両辺と ρε との空間変数についてのたたみこみをとる. Z uε (t, x) := (ρε ∗ u(t, ·))(x) = ρε (x − y)u(t, y) dy Rn とおくと, ρε ∗ (g jk ∂j ∂k u) = g jk ∂j ∂k (ρε ∗ u) − [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u. ただし [A, B] は交換子 [A, B] = AB − BA を表す.さらに Gε := ρε ∗ G とお くと, n n X X g jk ∂j ∂k uε = Gε + [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u j,k=1 j,k=1 | {z } =:Rε u 奏理音ムイ(Vtuber) 37 / 74
uε ∈ T2 l 2−l (Rn )) より,Claim 1 を適用することができて, l=0 C ([0, T ]; H Z t ku′ε (t)kL2 ≤ 2 ku′ε (0)kL2 + (kGε (τ )kL2 + kRε u(τ )kL2 ) dτ 0 Z t X n × exp 2 k∂i g jk (τ )kL∞ dτ . 0 i,j,k=0 この式で ε → 0 の極限移行を行う.まず軟化子の性質から ε → 0 のとき u′ε (t) → u′ (t), Gε → G u′ε (0) → u′ (0), in L2 (Rn ), in L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) がわかる ‡ . ‡ 一般に f ∈ L2 (Rn ) に対し ∥ρ ∗ f ∥ ε L2 ≤ ∥f ∥L2 と limε→0 ∥ρε ∗ f − f ∥L2 = 0 が成立するこ と([Racke, Lemma 4.2] 等を参照)および Lebesgue の収束定理からわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 38 / 74
最後に Rε u を含む項については,次の補題と Lebesgue の収束定理を適用すれば Z t kRε u(τ )kL2 dτ = 0 lim ε→0 0 となることがしたがう. Lemma 7 f ∈ H 1 (Rn ) に対し, (i) f に依らないある定数 C(g jk , ρ) > 0 が存在して, k[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f kL2 ≤ C(g jk , ρ)kf kH 1 . (ii) limε→0 k[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f kL2 = 0. Lemma 7 の証明 埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H 1 (Rn ) の稠密性から,f ∈ C0∞ (Rn ) として (i), (ii) を示せ ば十分である. 奏理音ムイ(Vtuber) 39 / 74
(i) を示す. [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) = ρε ∗ (g jk ∂j ∂k f ) − g jk (ρε ∗ ∂j ∂k f ) Z =− ρε (x − y) g jk (t, x) − g jk (t, y) ∂j ∂k f (y) dy n Z R = ∂yj ρε (x − y)(g jk (t, x) − g jk (t, y)) ∂k f (y) dy n R Z =− ∂j g jk (t, y)ρε (x − y)∂k f (y) dy n ZR jk − g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy Rn =: I + II. ここで,たたみこみに関する Young の不等式より, kIkL2 ≤ Ck∂j g jk kL∞ kρε kL1 k∂k f kL2 ≤ Ckf kH 1 . 奏理音ムイ(Vtuber) 40 / 74
次に, Z II = − Rn jk g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy について, |g jk (t, x) − g jk (t, y)| ≤ k∇x g jk kL∞ |x − y| t,x および |y|(∂j ρε )(y) = ε−1 |y| · ε−n (∂j ρ) y ε ∈ L1 (Rn ) より kIIkL2 ≤ Ck∇x g jk kL∞ k|y|ρkL1 k∂k f kL2 ≤ Ckf kH 1 . t,x これで (i) が示された. 奏理音ムイ(Vtuber) 41 / 74
(ii) を示す. Z Rn ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) dy = 0 より, [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) Z = ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) · (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z =− (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z − (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn =: III + IV. 奏理音ムイ(Vtuber) 42 / 74
Z III = − Rn (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について,Hölder の不等式より, Z 1 |III(x)|2 ≤ k∂j g jk k2L∞ kρ k ρε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy ε L t,x |x−y|<ε Z ≤C ρε (y)|∂k f (x − y) − ∂k f (x)|2 dy. |y|<ε これより, Z kIIIk2L2 ≤ C |y|<ε ρε (y)k∂k f (· − y) − ∂k f (·)k2L2 dy ここで f ∈ C0∞ より,任意の δ > 0 に対し,ε が十分小ならば sup k∂k f (· − y) − ∂k f (·)k2L2 ≤ δ |y|<ε とでき, 2 kIIIkL 2 ≤ CkρkL1 δ. 奏理音ムイ(Vtuber) 43 / 74
次に Z IV = − Rn (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について,II と同様に考えて,ρ̃ε (y) = |y|(∂j ρε )(y) と書くと, Z 1 |IV (x)|2 ≤ Ck∇x g jk k2L∞ kρ̃ k ρ̃ε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy. ε L t,x |x−y|<ε あとは III と全く同様の議論で,任意の δ > 0 に対して ε が十分小のとき kIV k2L2 ≤ Cδ とできる. 奏理音ムイ(Vtuber) 44 / 74
Theorem 6 (Step 1: s = 0 の場合) の証明(続き) Claim 2 を n X g jk (t, x)∂j ∂k u = − n X bj (t, x)∂j u − a(t, x)u + F (t, x) j=0 j,k=0 について適用して, ku′ (t)kL2 ≤ CT ku′ (0)kL2 + ≤ CT ku′ (0)kL2 + Z t 0 Z t 0 kF kL2 + k kF kL2 + n X j=0 X bj ∂j u + aukL2 dτ k∂ α ukL2 dτ |α|≤1 を得る § . § C は T, g jk , bj , c から決まる定数.ただし,以降は各行ごとに C の値は変わってもよいこと T T にする. 奏理音ムイ(Vtuber) 45 / 74
これと微積分の基本定理からしたがう Z t ku(t)kL2 ≤ ku(0)kL2 + k∂t u(τ )kL2 dτ 0 を合わせて(前ページ不等式の右辺が t について単調増加であることにも注意す ると), Z t X X X kF kL2 + k∂ α u(t)kL2 ≤ CT k∂ α u(0)kL2 + k∂ α ukL2 dτ . |α|≤1 0 |α|≤1 |α|≤1 最後に Gronwall の不等式より, X k∂ α u(t)kL2 ≤ CT |α|≤1 X |α|≤1 Z t k∂ α u(0)kL2 + kF kL2 dτ 0 を得る.これで (Step 1: s = 0 の場合) の証明が完了した. 奏理音ムイ(Vtuber) 46 / 74
Step 2 : s ∈ N のとき ∂xβ を x 変数に関する β 階の微分作用素とすると, L∂xβ u = ∂xβ Lu + [L, ∂xβ ]u = ∂xβ F + [L, ∂xβ ]u と表すと,交換子 [L, ∂xβ ] は |β| + 1 階の微分作用素で,t についての微分は 1 階 までしか含まない. そこで,|β| ≤ s として,∂xβ u に対して Step 1 の結果を適用すると, X |α|≤1 k∂ α ∂xβ u(t)kL2 ≤ CT X Z t k∂ α ∂xβ u(0)kL2 + ≤ Cs,T (k[L, ∂xβ ]ukL2 + k∂xβ F kL2 ) dτ 0 |α|≤1 X k∂ α ∂xβ u(0)kL2 + |α|≤1 奏理音ムイ(Vtuber) Z t X ( k∂ α ∂xγ u(τ )kL2 + k∂xβ F (τ )kL2 ) dτ 0 |α|≤1, |γ|≤s 47 / 74
いま得られた評価 X k∂ α ∂xβ u(t)kL2 |α|≤1 ≤ Cs,T X k∂ α ∂xβ u(0)kL2 + |α|≤1 Z t X ( k∂ α ∂xγ u(τ )kL2 + k∂xβ F (τ )kL2 ) dτ 0 |α|≤1, |γ|≤s について,両辺で |β| ≤ s 全体にわたる和をとると, X k∂ α u(t)kH s |α|≤1 ≤ Cs,T X |α|≤1 Z t X k∂ α u(0)kH s + ( k∂ α u(τ )kH s + kF (τ )kH s ) dτ 0 |α|≤1 さらに Gronwall の不等式を適用すると,s ∈ N の場合の求める評価 Z t X X k∂ α u(t)kH s ≤ Cs,T k∂ α u(0)kH s + kF (τ )kH s dτ |α|≤1 |α|≤1 0 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 48 / 74
Step 3 : s が負の整数のとき Step 2 の結果を v(t, x) := (I − ∆)s u(t, x) に対して適用する.Fourier 変換による Sobolev ノルムの表現より s kv(t)kH −s ∼ k(I − ∆) 2 u(t)kL2 ∼ ku(t)kH s が成立する ¶ .−s ∈ N に注意して,v に Step 2 の結果を適用すると, Z t X X (5) kLv(τ )kH −s dτ . k∂ α v(t)kH −s ≤ Cs,T k∂ α v(0)kH −s + |α|≤1 |α|≤1 0 次に右辺の kLv(τ )kH −s を評価していく. ¶ ここで,a ∼ b はある定数 C > 0 について C −1 a ≤ b ≤ Ca が成り立つことを意味する. 奏理音ムイ(Vtuber) 49 / 74
ここで, (I − ∆)−s Lv = Lu + [(I − ∆)−s , L]v = F + [(I − ∆)−s , L]v より, kLv(τ )kH −s ∼ k(I − ∆)−s Lv(τ )kH s ≤ kF (τ )kH s + k[(I − ∆)−s , L]v(τ )kH s . 交換子 [(I − ∆)−s , L] は −2s + 1 階以下の微分作用素で,t についての微分は 高々1 階までしか含まない.したがって, X [(I − ∆)−s , L]v = ∂xβ (aαβγ (t, x)∂xγ ∂ α v) |α|≤1, |β|,|γ|≤−s の形に表される.ただし,ここで aαβγ は C ∞ 級かつすべての導関数が有界な関 数である(g jk , bj , a の導関数を使って表される). 奏理音ムイ(Vtuber) 50 / 74
s 上の表示と,(I − ∆) 2 ∂xβ が L2 で有界になることから, X s k[(I − ∆)−s , L]v(τ )kH s ∼ k (I − ∆) 2 ∂xβ (aαβγ ∂xγ ∂ α v(τ ))kL2 |α|≤1, |β|,|γ|≤−s ≤ Cs,T X k∂xγ ∂ α v(τ )kL2 |α|≤1, |γ|≤−s ≤ Cs,T X k∂ α v(τ )kH −s . |α|≤1 これを式 (5) に適用して, Z t X X k∂ α v(t)kH −s ≤ Cs,T k∂ α v(0)kH −s + kLv(τ )kH −s dτ |α|≤1 ≤ Cs,T X |α|≤1 奏理音ムイ(Vtuber) 0 |α|≤1 Z t k∂ α v(0)kH −s + (kF (τ )kH s + 0 X k∂ α v(τ )kH −s ) dτ . |α|≤1 51 / 74
Gronwall の不等式を適用すると, Z t X X k∂ α v(0)kH −s + k∂ α v(t)kH −s ≤ Cs,T kF (τ )kH s dτ . |α|≤1 0 |α|≤1 最後に, X k∂ α v(t)kH −s ∼ X k∂ α u(t)kH s |α|≤1 |α|≤1 に注意すると,求める評価 X k∂ α u(t)kH s ≤ Cs,T |α|≤1 X |α|≤1 Z t k∂ α u(0)kH s + kF (τ )kH s dτ . 0 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 52 / 74
2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題の適切性 n ≥ 1, T > 0 とし,[0, T ] × Rn における偏微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 を考える.係数 g jk , bj , a は滑らかかつすべての導関数が有界であるとし, g jk = g kj とする. rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x), について n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 g0 := diag(1, −1, . . . , −1) ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する. 奏理音ムイ(Vtuber) 53 / 74
Theorem 8 s ∈ Z, u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ), F ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) とする.このと き,L に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , (IVP) (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn の弱解 u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) がただ一つ存在し,エネルギー不等式 Z t X k∂ α u(t)kH s ≤ C ku0 kH s+1 + ku1 kH s + kF (τ )kH s dτ (t ∈ (0, T )) 0 |α|≤1 をみたす.さらに,初期値 (u0 , u1 ) に弱解 u を対応させる写像は, H s+1 (Rn ) × H s (Rn ) から C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) への連続写 像である.すなわち,L に対する初期値問題 (IVP) は H s+1 (Rn ) × H s (Rn ) で適 切である. 奏理音ムイ(Vtuber) 54 / 74
証明の前に,Theorem 6(エネルギー不等式)の主張を思い出しておく: s ∈ Z, u∈ 2 \ C l ([0, T ]; H s+1−l (Rn )), F := Lu ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) l=0 ならば,ある定数 Cs,T > 0 が存在して,任意の t ∈ (0, T ) に対し Z t X X k∂ α u(0, ·)kH s + kF (τ, ·)kH s dτ. k∂ α u(t, ·)kH s ≤ Cs,T |α|≤1 奏理音ムイ(Vtuber) |α|≤1 0 55 / 74
エネルギー不等式に関する注意 F に対する追加の仮定 F ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) の下では,u については u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) の仮定だけでエネルギー不等式を適用できる.実際, ∂02 u = − n X g jk ∂j ∂k u − j,k=0 (j,k)̸=(0,0) から n X bj ∂j u − au + F =: F̃ ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) j=0 Z t F̃ (τ ) dτ ∈ C 1 ([0, T ]; H s−1 (Rn )) ∂0 u(t) = ∂0 u(0) + 0 (∵ 右辺は H s−1 (Rn ) 上の Bochner 積分.∂0 ((左辺) − (右辺)) = 0 in D′ ((0, T ) × Rn ) か ら,((左辺) − (右辺)) は t に独立な Rn 上の distribution ‖ となるが,t = 0 で両辺が等し いので結局 (左辺) = (右辺) ) となり,u ∈ C 2 ([0, T ]; H s−1 (Rn )) がしたがう. ‖ [Hörmander I, Theorem 3.1.4’] 奏理音ムイ(Vtuber) 56 / 74
証明 まず,空間 C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) に属する解の存在は示せ ているとした上で,先に一意性と初期値連続依存性を示そう. (Step 1: 一意性)u, v を u, v ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をみたす (IVP) の弱解とすると,u − v は L(u − v) = 0, (u − v)|t=0 = (∂0 u − ∂0 v)|t=0 = 0 をみたす.したがって,エネルギー不等式より,u − v ≡ 0. 奏理音ムイ(Vtuber) 57 / 74
(Step 2: 初期値に対する解の連続性)初期値の列 {(u0 , u1 )}∞ j=1 を s+1 n s n ∞ s+1 H (R ) × H (R ) からとり,これが {(u0 , u1 )}j=1 に H (Rn ) × H s (Rn ) の (j) (j) (j) (j) 位相で収束するとする.u(j) , u をそれぞれ初期値 (u0 , u1 ), (u0 , u1 ) に対応す る (IVP) の解で, u(j) , u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をみたすとする.このとき,u(j) − u は L(u(j) − u) = 0, (j) (u(j) − u)|t=0 = u0 − u0 , (j) (∂0 u(j) − ∂0 u)|t=0 = u1 − u1 をみたす.よってエネルギー不等式より, X X k∂ α (u(j) (t, ·) − u(t, ·))kH s ≤ Cs,T k∂ α (u(j) (0, ·) − u(0, ·))kH s |α|≤1 |α|≤1 (j) (j) ≤ Cs,T (ku0 − u0 kH s+1 + ku1 − u1 kH s ) →0 (j → ∞). これは u(j) → u in C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) (j → ∞) であることを示している. 奏理音ムイ(Vtuber) 58 / 74
(Step 3: 初期値 0,外力が C0∞ の場合の解の存在)まず,u0 = u1 = 0 および F ∈ C0∞ ((0, T ) × Rn ) ⊂ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) の場合を考える.弱解の定義:∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), Z TZ Z TZ ψF dt dx = 0 Rn 0 (L∗ ψ)u dt dx Rn を思い出す. 作用素 L∗ : C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) → C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) L∗ に対して Theorem 6 (エネルギー不等式)を適用する. ただし,変数 t を T − t と変え(初期時刻 t = T に注意),s は −s − 1 に変え て適用すると,∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), ∀t ∈ [0, T ], Z T kψ(t)kH −s ≤ C kL∗ ψ(τ )kH −s−1 dτ 0 ∗ を得る.特に,L ψ = 0 on [0, T ] ⇒ ψ = 0 on [0, T ]. 奏理音ムイ(Vtuber) 59 / 74
よって線形汎関数 A : L∗ (C0∞ ((−∞, T ) × Rn )) → R Z TZ ∗ L ψ 7→ ψF dt dx 0 Rn は well-defined となる.さらに, ∗ Z T |A(L ψ)| ≤ kψ(t)kH −s kF (t)kH s dt 0 ≤ sup kψ(t)kH −s kF kL1 ([0,T ];H s ) t∈[0,T ] Z T ≤ CkF kL1 ([0,T ];H s ) kL∗ ψ(t)kH −s−1 dt 0 = CkF kL1 ([0,T ];H s ) kL∗ ψkL1 ([0,T ];H −s−1 ) . すなわち,A は L∗ (C0∞ ((−∞, T ) × Rn )) ⊂ L1 ([0, T ]; H −s−1 (Rn )) 上で定義された線形汎関数で,上の不等式の意味での有界性をみたす. 奏理音ムイ(Vtuber) 60 / 74
したがって,Hahn–Banach の定理より,A は L1 ([0, T ]; H −s−1 (Rn )) 上の有界線 形汎関数 Ã に拡張され,Ã も同じ有界性 |Ã(L∗ ψ)| ≤ CkF kL1 ([0,T ];H s ) kL∗ ψkL1 ([0,T ];H −s−1 ) . をみたす.ここで, L1 ([0, T ]; H −s−1 (Rn )) ∗ = L∞ ([0, T ]; H s+1 (Rn )) より,ある u ∈ L∞ ([0, T ]; H s+1 (Rn )) が存在して,∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), Z TZ 0 Rn uL∗ ψ dtdx = Ã(L∗ ψ) = A(L∗ ψ) = Z TZ ψF dtdx 0 Rn をみたす.したがって u は Lu = F の弱解となる. 後の議論のため,u(t) = 0 (t ≤ 0) とおいて u を (−∞, T ) 上に拡張しておく. 奏理音ムイ(Vtuber) 61 / 74
(Step 3’: 解の滑らかさ)次に,上で構成した u が時間変数に関する次の滑らか さをもつことを示す.つまり, u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) であることを示す. Lu = F in D′ ((−∞, T ) × Rn ) より,D′ ((−∞, T ) × Rn ) において ∂0 (∂0 u + 2 n X g 0j ∂j u + b0 u) j=1 =2 n X (∂0 g 0j )∂j u + (∂0 b0 )u + j=1 n X g jk ∂j ∂k u − j,k=1 n X bj ∂j u − au + F j=1 =: F̃ かつ F̃ ∈ L∞ ([0, T ]; H s−1 (Rn )) が成立する. 奏理音ムイ(Vtuber) 62 / 74
これより, ∂0 u + 2 n X Z t g 0j ∂j u + b0 u = F̃ (τ ) dτ. 0 j=1 (∵ エネルギー不等式に関する注意のところと同じ議論) よって ∂0 u = −2 n X Z t g ∂j u − b u + 0j 0 F̃ (τ ) dτ =: F̃˜ ∈ L∞ ([0, T ]; H s−1 (Rn )). 0 j=1 これより上と同じ議論で, Z t u= F̃˜ (τ ) dτ ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) 0 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 63 / 74
これを再び ∂0 u の式に使うと, ∂0 u = −2 n X j=1 Z t g 0j ∂j u − b0 u + F̃ (τ ) dτ =: F̃˜ ∈ C([0, T ]; H s−2 (Rn )) 0 となり, u ∈ C 1 ([0, T ]; H s−2 (Rn )) を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 64 / 74
ここまでで, u ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s−2 (Rn )) が分かった.これは求める滑らかさである u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) に届いていないように見えるが,いま u0 = u1 = 0 かつ F ∈ C0∞ ((0, T ) × Rn ) の場合を考えており,上の議論は s に依存しない(途中に現れる定数の値が変わ るだけ)ので,上の議論で s 7→ s + 2 と置き換えることによって, u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をみたすような Lu = F の弱解 u の存在が示されたことになる. 奏理音ムイ(Vtuber) 65 / 74
(Step 4: 初期値 0,外力が一般の場合の解の存在) 次に,F が一般の F ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) の場合を考える. ∞ n この場合は,関数列 {Fm }∞ m=1 ⊂ C0 ((0, T ) × R ) で lim kFm − F kL1 ([0,T ];H s ) = 0 m→∞ をみたすものをとり, um ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) を Fm に対応する弱解とする.このとき,um − ul に Theorem 6(エネルギー不 等式)を適用すると,∀t ∈ (0, T ), X k∂ α um (t) − ∂ α ul (t)kH s ≤ kFm − Fl kL1 ([0,T ];H s ) |α|≤1 → 0 (m, l → ∞). 奏理音ムイ(Vtuber) 66 / 74
s+1 よって {um }∞ (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) の Cauchy 列とな m=1 は C([0, T ]; H り,極限 u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をもつ.um に対する弱解の定義式:∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), ZZ ZZ ψFm dtdx = (L∗ ψ)um dtdx (0,T )×Rn (0,T )×Rn において,m → ∞ とすることで,u が Lu = F の弱解であることがわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 67 / 74
(Step 5: 一般の初期値と外力に対する解の存在) 最後に,一般の初期値 u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ) の場合を考える. ∞ ∞ n ∞ ∞ n まず列 {u0,m }∞ m=1 , {u1,m }m=1 ⊂ C0 (R ) および {Fm }m=1 ⊂ C0 ((0, T ) × R ) を lim (u0,m , u1,m ) = (u0 , u1 ) in H s+1 (Rn ) × H s (Rn ) m→∞ lim Fm = F m→∞ in L1 ([0, T ]; H s (Rn )) となるようとり, wm (t, x) := u0,m (x) + tu1,m (x) (m ∈ N) とおく.wm (0, x) = u0,m (x), ∂0 wm (0, t) = u1,m (x) であることに注意する. 奏理音ムイ(Vtuber) 68 / 74
さらに, vm ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) (m ∈ N) を,初期値問題 ( Lvm = Fm − Lwm , (vm (0), ∂0 vm (0)) = (0, 0) (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn の弱解とする. Fm − Lwm ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) であることから,前段までの議論でこの弱解の存在は既に得られていることに注 意する. 奏理音ムイ(Vtuber) 69 / 74
そして um := vm + wm とおくと, um ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) (m ∈ N) かつ,um は ( Lum = Fm , (um (0), ∂0 um (0)) = (u0,m , u1,m ) (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn の弱解.よって um − ul に Theorem 6 (エネルギー不等式)を適用して, X k∂ α um (t) − ∂ α ul (t)kH s |α|≤1 ≤ C(ku0,m − u0,l kH s+1 + ku1,m − u1,l kH s + kFm − Fl kL1 ([0,T ];H s ) ) →0 (m, l → ∞). となり,um の極限 u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) が存在する. 奏理音ムイ(Vtuber) 70 / 74
um に対する弱解の定義式:∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), ZZ ZZ ψFm dtdx = (L∗ ψ)um dtdx n n (0,T )×R (0,T )×R Z − ψ(0, x)u1,m (x) dx n ZR + (∂0 ψ)(0, x) − (ψb0 )(0, x) u0,m (x) dx Rn において,m → ∞ とすることで,u が求める弱解であることがわかる. 最後に,um に対する Theorem 6(エネルギー不等式) Z t X α k∂ um (t)kH s ≤ C ku0,m kH s+1 + ku1,m kH s + kFm (τ )kH s dτ 0 |α|≤1 で m → ∞ として,u に対するエネルギー不等式 Z t X α k∂ u(t)kH s ≤ C ku0 kH s+1 + ku1 kH s + kF (τ )kH s dτ (t ∈ (0, T )) 0 |α|≤1 を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 71 / 74
記号表 • t ∈ R:時間変数 • x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn :空間変数 • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • u′ = ∇u = (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u) • □ = ∂t2 − ∆:d’ALembertian • g0 = (g0jk )j,k=0,...,n = diag(1, −1, . . . , −1) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn ):実数値,g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • u = u(t, x):未知関数 • F (t, x):外力(given),実数値 • u0 (x), u1 (x):初期値(given),実数値 奏理音ムイ(Vtuber) 72 / 74
記号表 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対して, n X • L0 = g jk (t, x)∂j ∂k :主要部 j,k=0 • p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk (ξ0 ∈ R, ξ ′ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn ):特性 j,k=0 多項式 • λ± (t, x, ξ ′ ):特性根 n n X X • L∗ ψ = ∂j ∂k (g jk ψ) − ∂j (bj ψ) + aψ :L の共役作用素 j,k=0 奏理音ムイ(Vtuber) j=0 73 / 74
記号表 s ∈ N ∪ {0} に対し, H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし,微分は超関数の意味の微分とする.この空間を Sobolev 空間とよぶ.特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である.また,負の整数 s に対して, H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める ∗∗ . また,区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し, C(I; X) := {u : I → X;(X の位相について)連続 }, C k (I; X) := {u : I → X;(X の位相について)C k 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. ∗∗ Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる. 奏理音ムイ(Vtuber) 74 / 74