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入試問題解説 第 27 回：空間の等距離条件と内積 2023 東 京 工 業 大 学 大 問 5

入試問題解説 問題 xyz 空間の 4 点 A(1; 0; 0)，B(1; 1; 1)，C(¡1; 1; ¡1)，D(¡1; 0; 0) を考える。 (1) 2 直線 AB，BC から等距離にある点全体のなす図形を求めよ。 (2) 4 直線 AB，BC，CD，DA にともに接する球面の中心と半径の組をすべて求めよ。 (2023 東京工業大学 大問 5) ■ 本問の学習テーマ・目的 内積と三平方の定理を用いて空間内の点と直線の距離を表します。交わる 2 直線から等 距離にある点全体が 2 つの平面をなすことを計算と図で確かめます。この結果を用いて 4 直線に接する球面の中心と半径を求めます。 指針 / アプローチ ▼ (1) 距離の 2 乗の比較 ▼ (2) 3 直線からの等距離条件 ▼ (2) x 軸までの距離 交点 B から点 P へのベクトル を用いて 2 直線までの距離の 2 乗を表します。2 式の差をとると BP2 が消えます。 BC と CD からの等距離条件も求 めます。(1) の結果と合わせて球 DA は x 軸です。中心の座標を (x; y; z) とすると半径の 2 乗は y2 + z2 なので，これを用いて中 面の中心がどの直線上にあるかを 調べます。 心と半径を求めます。 (1) では 2 直線が B で交わることを利用します。 ¡ ! 垂線の足の座標を求めなくても BP と各直線の方向 B ベクトルの内積を用いて距離を表せます。 r (2) の球面の中心は 4 直線から等距離にあります。 (1) の結果と BC と CD からの等距離条件を合わ せると中心は 4 本の直線のいずれかにあります。最 後に直線 AB と x 軸までの距離を等置して中心を r P x r C r A O D 求めます。 4 直線までの距離がすべて r 解答 (1) ¡ ! 点 P(x; y; z) から直線 l までの距離を dl とする。~ p = BP とおく。B を通る直線 l に平行 な単位ベクトルを ~ e とすると，内積と三平方の定理より d2l = j~ pj2 ¡ (~ p ¢~ e)2 である。 ¡! ¡! BA = (0; ¡1; ¡1)，BC = (¡2; 0; ¡2) よ り ，そ れ ぞ れ に 平 行 な 単 位 ベ ク ト ル は B1 (0; ¡1; ¡1)， B1 (¡1; 0; ¡1) である。したがって 2 2 d2AB ¡ d2BC = (x + z ¡ 2)2 ¡ (y + z ¡ 2)2 (x ¡ y)(x + y + 2z ¡ 4) = 2 2 したがって dAB = dBC となる条件は ~ p ¢ (1; ¡1; 0) = 0 または ~ p ¢ (1; 1; 2) = 0 である。 よって求める図形は，点 B(1; 1; 1) を通り，(1; ¡1; 0)，(1; 1; 2) をそれぞれ法線ベクトル とする 2 つの平面の全体。 --- 1 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 (2) 球面の中心を P(x; y; z)，半径を r > 0 とする。(1) と同様に交点 C からのベクトルを用い ると d2BC ¡ d2CD = (y ¡ z ¡ 2)2 ¡ (x + z + 2)2 (x + y)(y ¡ x ¡ 2z ¡ 4) = 2 2 となる。したがって dAB = dBC = dCD となる条件は y = x または x + y + 2z = 4 U y = ¡x または x ¡ y + 2z = ¡4 ÝÝ ① ÝÝ ② である。また DA は x 軸であるから r2 = y2 + z2 となる。d2AB = (x ¡ 1)2 + (y ¡ z)2 2 より，dAB = dDA となる条件は (x ¡ 1)2 + (y ¡ z)2 ¡ y2 ¡ z2 = 0 2 ÝÝ ③ である。①，②の条件の組合せにより次の 4 通りに分ける。以下複号は同順とする。 (i) y = x，y = ¡x のとき，x = y = 0 である。③より B B (0; 0; § 2)，半径は 2 2 ¡ z2 = 0 となるので，中心は 2 (ii) y = x，x ¡ y + 2z = ¡4 のとき，y = x，z = ¡2 である。③より B B B るので，中心は (§ 2; § 2; ¡2)，半径は 6 x2 ¡ 2 = 0 とな 2 (iii) x + y + 2z = 4，y = ¡x のとき，y = ¡x，z = 2 である。③より B B B なるので，中心は (§ 2; ¨ 2; 2)，半径は 6 x2 ¡ 2 =0と 2 (iv) x + y + 2z = 4，x ¡ y + 2z = ¡4 のとき，y = 4，x = ¡2z である。③より B B B 7(z2 ¡ 2) = 0 となるので，中心は (§2 2; 4; ¨ 2)，半径は 3 2 2 以上の 8 組はいずれも①，②，③を満たし，半径も正である。よってこれらが求める中心と半 径の組のすべてである。 答案記載上の注意点 ▼ ポイント 1：単位ベクトルと内積 直線方向の長さを内積の絶対値で表すには方向ベクトルの大きさを 1 にする必要があります。 一般の方向ベクトル ~ u を用いる場合，点と直線の距離の 2 乗は j~ pj2 ¡ (~ p ¢~ u)2 です。 j~ uj2 ▼ ポイント 2：平方の等式から生じる 2 通りの場合 (x + z ¡ 2)2 = (y + z ¡ 2)2 は x + z ¡ 2 = y + z ¡ 2 または x + z ¡ 2 = ¡(y + z ¡ 2) と同値です。後者を落とすと求める平面の一方が抜けます。 --- 2 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 ▼ ポイント 3：接する条件と半径の確認 ①，②は中心から AB，BC，CD までの距離が等しい条件です。さらに③を満たせば DA ま での距離も等しくなります。半径が正であることまで確認します。問題で指定されているのは 4 直線なので接点を線分上に限る必要はありません。 解説 1. 内積を用いた点と直線の距離 点 P から直線 l に下ろした垂線の足を H とします。l P ¡ ! 上の点を B とし，~ p = BP とおきます。l に平行な単 位ベクトルを ~ e とすると，BH = j~ p ¢~ ej です。 2 2 ~ p 2 三平方の定理より PH = BP ¡ BH なので，垂線の d ¡! 足の座標を求めずに距離の 2 乗を表せます。BH と ~ e が逆向きの場合も内積を 2 乗すれば同じ式が成り立ち B ~ e ます。 l H 2. 交点からのベクトルと等距離条件 交わる 2 直線に平行な単位ベクトルをそれぞれ ~ e; ~ f とします。交点 B から点 P へのベクト ルを ~ p とすると，P から 2 直線までの距離の 2 乗は j~ pj2 ¡ (~ p ¢~ e)2 と j~ pj2 ¡ (~ p¢~ f)2 です。 2 式を等置して j~ pj2 を消去すると，(~ p ¢~ e)2 = (~ p¢~ f)2 となります。内積の分配法則より ~ p ¢ (~ e¡~ f) = 0 または ~ p ¢ (~ e+~ f) = 0 となります。これらは交点 B を通り，それぞれ ~ e¡~ f，~ e+~ f を法線ベクトルとする平面の方 程式です。2 直線は平行でないので ~ e¡~ f，~ e+~ f はともに零ベクトルではありません。 3. 角の二等分線を含む 2 つの平面 2 直線 l; m を含む平面を ¦ とし，点 P から ¦ に下 ¼2 ¼1 ろした垂線の足を Q とします。さらに Q から l; m へ下ろした垂線の足を H; I とすると，PH，PI もそ P れぞれ l; m に垂直です。 2 2 2 2 2 l H 2 PH = PQ + QH ，PI = PQ + QI より，P か ら 2 直線までの距離が等しい条件は QH = QI と同 B ¦ Q I m 値です。 平面 ¦ 上で QH = QI を満たす点 Q は 2 直線のなす角の二等分線 2 本のいずれかにありま す。この点 Q を通り ¦ に垂直な直線上では P の位置によらず 2 直線までの距離が等しくなり ます。したがって求める図形は 2 本の二等分線をそれぞれ含み，¦ に垂直な 2 つの平面です。 内積を用いて 2 平面が直交することも確かめられます。j~ ej = j~ fj = 1 より (~ e+ ~ f)¢(~ e¡ ~ f) = 0 なので，2 平面の法線ベクトルは互いに垂直です。したがって 2 平面は直交します。 --- 3 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 4. 4 直線に接する球面の中心 球面の中心を P，半径を r とすると，球面が直線に接する 条件は「P からその直線までの距離が r であること」で P す。したがって 4 直線に接する球面を求めるにはまず 4 直 線から等距離にある点を求めます。 r 本問では dAB = dBC と dBC = dCD を先に用います。各 ます。それぞれから 1 つずつ選んで 2 £ 2 = 4 通りの組合 l H 条件は 2 つの平面のいずれかに中心 P があることを表し 中心と直線を含む平面での断面 せを調べます。 たとえば x + y + 2z = 4 と x ¡ y + 2z = ¡4 を選ぶと，2 式を辺々引いて y = 4，辺々加 えて x + 2z = 0 となります。実数 t を用いて中心の座標を (2t; 4; ¡t) と表せます。他の 3 通りも同様に 1 つの文字で中心の座標を表せます。 最後に dAB = dDA となるように t を定めます。これで 4 直線までの距離がすべて等しくな ります。DA は x 軸なのでこの計算には d2DA = y2 + z2 を用います。 ■ 復習のポイント ★★★★★ 点と直線の距離：内積と三平方の定理を用いて距離を求めます ★★★★★ 等距離条件：交点からのベクトルを用いて距離の 2 乗を等置します ★★★★★ 等距離の点の集合：角の二等分線を含む 2 平面を求めます ★★★★★ 球面と直線の接触：中心と直線の距離が半径に等しいことを用います ★★★☆☆ 条件の組合せ：中心の座標を 1 つの文字で表し，残る距離の条件からその 値を求めます --- 4 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止