関連スライド
各ページのテキスト
入試問題解説 第 14 回：整 数 条 件 と 因 数 分 解 2007 京 大 理 系 大 問 3
入試問題解説 問題 p を 3 以上の素数とする。4 個の整数 a，b，c，d が次の 3 条件 a + b + c + d = 0; ad ¡ bc + p = 0; を満たすとき，a，b，c，d を p を用いて表せ。 a≧b≧c≧d (2007 京都大学・前期理系 大問 3) ■ 本問の学習テーマ・目的 本問では，和の条件を積の条件に代入し，素数の性質を利用できる形に変形する考え方 を扱います。さらに，大小関係を用いて因数の符号と順序を定め，残った整数の範囲を 絞ります。 条件は 3 つありますが，それぞれを別々に調べるだけでは進みにくいです。どの条件を 組み合わせると次の操作が可能になるのか，また，一度使った条件をどこでもう一度使 うのかを確認しましょう。 指針 / アプローチ ▼ 和の条件で 1 文字を消す ▼ 素数の性質を利用する ▼ 大小関係で範囲を絞る d = ¡(a + b + c) を p = bc ¡ ad に代入します。展開後の式を (a + b)(a + c) = p の各因数 b; c; d を a で表します。a ≧ b と c ≧ d から 2a の範囲を絞り， 整理し，整数どうしの積を作り ます。 について，符号と大小を確認しま す。その後，因数を p と 1 に定 めます。 偶奇で値を決めます。 p が素数であることを使うには，p を整数どうしの積で表すことを考えます。しかし， p = bc¡ad は積の差であり，このままでは因数を限定できません。そこで，a+b+c+d = 0 を使って d を消します。すると，p = bc + a(a + b + c) となり，a2 + ab + ac + bc を因 数分解できます。 こうして (a + b)(a + c) = p となりますが，a; b; c; d は負の整数でもよいので，直ちに 各因数を 1 と p に決めてはいけません。ここで大小関係を使います。上位 2 つの和 a + b は 下位 2 つの和 c + d 以上であり，全体の和は 0 なので，a + b ≧ 0 です。また，b ≧ c より a + b ≧ a + c です。この 2 点と積が正であることを合わせれば，因数の符号と順序を定めら れます。 a + b = p，a + c = 1 まで進めば，残るのは a の決定です。b; c; d を a で表し， a ≧ b ≧ c ≧ d に戻します。特に，両端の不等式 a ≧ b と c ≧ d は，それぞれ a の下限と上 限を与えます。最後に p が奇数であることを使います。 解答 a + b + c + d = 0 より d = ¡(a + b + c) である。これを p = bc ¡ ad に代入すると，(*1) p = bc + a(a + b + c) = a2 + ab + ac + bc = (a + b)(a + c) ÝÝ ① (*1) 和の条件で d を 消すと，積の差が因数 分解できる形になり ます。 また，a ≧ c，b ≧ d より a + b ≧ c + d = ¡(a + b) であるから，a + b ≧ 0 である。①と p > 0 より a + b Ë 0 なので，a + b > 0 であり，a + c > 0 でもある。(*2) --- 1 --- (*2) 積が正というだけ © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止 では，両因数が負の場 合もあります。一方の 因数が正であることを 先に示します。
入試問題解説 ここで，b ≧ c より a + b ≧ a + c である。p は素数であり，a + b，a + c は正の整数なので， a + b = p; a+c=1 ÝÝ ② したがって，b = p ¡ a，c = 1 ¡ a，d = a ¡ p ¡ 1 である。a ≧ b，c ≧ d より，(*3) a ≧ p ¡ a; 1¡a≧a¡p¡1 p ≦ 2a ≦ p + 2 すなわち p は 3 以上の素数なので奇数である。2a は偶数であるから，2a = p + 1 となる。よって， (a; b; c; d) = $ p+1 p¡1 p¡1 p+1 < ; ;¡ ;¡ 2 2 2 2 (*3) b ≧ c は p ≧ 1 に対応し，すでに成り 立っています。両端の 不等式が a の範囲を決 めます。 ÝÝ ③ 逆に，③の 4 数は整数であり，a + b + c + d = 0，a ¡ b = c ¡ d = 1，b ¡ c = p ¡ 1 > 0 を満たす。また，(*4) (*4) 候補を求めた後， 2 ad ¡ bc + p = ¡ 整数であることと，問 題文の 3 条件を満たす ことを確認します。 2 (p + 1) (p ¡ 1) + +p=0 4 4 である。したがって，求める a; b; c; d は③である。 答案記載上の注意点 答案では，因数分解を思いつくまでの説明は必要ありません。ただし，素数の性質を適用する 前の符号確認と，候補を一つに定める根拠は省略しません。 ▼ ポイント 1：因数が正の整数であることを示す 整数の積が素数 p になる場合，正の因数どうしの積だけでなく，(¡1)(¡p) も考えられます。 「p は素数だから a + b = p，a + c = 1」とだけ書くと，負の場合を除いた根拠が欠けます。 まず a + b ≧ 0 を示し，積が 0 でないことから正と判断します。そのうえで積の相手も正であ ることを述べます。 ▼ ポイント 2：因数の順序と最後の偶奇を明記する 正の因数が 1 と p に定まっても，どちらが a + b に対応するかを決める必要があります。 b ≧ c より a + b ≧ a + c と書けば十分です。また，p ≦ 2a ≦ p + 2 の後では，p が奇数， 2a が偶数であることを記します。両端の値を除けるため，2a = p + 1 と定まります。 ▼ ポイント 3：求めた候補が元の条件を満たすことを確認する ここまでの計算は，条件を満たす 4 数があるなら③に限られることを示しています。最後に， その 4 数が実際に条件を満たすことを確認します。和は符号が反対の数どうしで相殺され，大 小関係は隣り合う差で確かめられます。積の条件も，平方の差を使えば短く確認できます。 解説 --- 2 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止
入試問題解説 1. 素数という条件から，どのような式を目指すか 素数という語から，余りや倍数に関する議論を考えることもあります。しかし，本問の p = bc ¡ ad には，まず因数分解を試す理由があります。p を正の整数どうしの積にできれ ば，因数は 1 と p に限られ，4 文字を含む条件を二つの 1 次式に分けられるからです。 もちろん，bc ¡ ad 自体をそのまま因数分解することはできません。そこで，まだ使っていな い和の条件に着目します。d = ¡(a + b + c) を代入すると，bc + a(a + b + c) となります。 ここで，a2 + ab + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) とまとめれば，共通因数 a + b が現れ ます。(*5) (*5) bc ¡ ad が素数で この変形は，最初から (a + b)(a + c) を思いつかなければ進めないものではありません。 「素 数の性質を使える積を作りたい」「和の条件で 1 文字を消せる」という二つの判断から，展開 と因数分解を試してみましょう。代入によって文字を減らすだけでなく，残った式の形がどう も，bc と ad のそれぞ れが素数や 1 になるわ けではありません。積 の差と積を区別します。 変わるかまで確認することが大切です。 2. 大小関係は，一度使えば役目が終わるわけではない a ≧ b ≧ c ≧ d は，解答の異なる場面で使われています。最初は a + b ≧ c + d として符号 を調べ，次に b ≧ c として二つの因数の順序を定めます。さらに，②から b; c; d を a で表 した後も，a ≧ b と c ≧ d を使って範囲を絞っています。 特に，符号を調べる場面では，個々の文字の符号をすべて決める必要はありません。最大の a が非負，最小の d が非正であることは分かりますが，それだけでは a + b や a + c の符号は 定まりません。因数分解後に必要なのは和の符号なので，上位 2 つと下位 2 つをまとめて比較 します。(*6) (*6) 各文字の符号で細 また，最後に a ≧ b だけを使うと 2a ≧ p しか分からず，候補は無数に残ります。c ≧ d も使 かく場合分けする前に， 次の議論でどの式の符 号が必要かを確認し ます。 うことで 2a ≦ p + 2 が加わり，初めて狭い範囲に限定できます。変形が進んだら，元の大小 関係に戻って残りの条件を確かめましょう。 3. 整数条件は，範囲を絞った後に効く p p ≦a≦ + 1 の範囲に無数の候補があります。一方， 2 2 p+1 p が奇数なら両端は整数ではなく，この範囲に入る整数は中央の だけです。解答では 2 分数を増やさないため，p ≦ 2a ≦ p + 2 と書き，偶奇で決定しました。 ②の後では，a を実数と考えると， この段階で新たな整数問題の技巧は必要ありません。大小関係で幅を狭くし，その範囲に入る 整数を調べるだけです。「整数だから何か特別な方法を使う」と考えるより，まず式と不等式 でどこまで限定できるかを確かめる方が進めやすいです。 なお，p = 2 でも因数分解と符号の議論は変わらず，a + b = 2，a + c = 1 となります。しか し，最後は 2 ≦ 2a ≦ 4 なので，a = 1; 2 の二つが残ります。対応する 4 数は (1; 1; 0; ¡2) と (2; 0; ¡1; ¡1) であり，いずれも条件を満たします。(*7) 本問の「3 以上」という条件が使 われる場所も，ここで確認できます。 (*7) 「3 以上」は素数 p を奇数に限定する条 件です。最後の候補数 に影響しています。 --- 3 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止
入試問題解説 4. 答えの対称性を，初めから仮定してよいか 答えでは a = ¡d，b = ¡c となっています。しかし，和が 0 というだけで，4 数がこのよう な組になるわけではありません。例えば，(4; 1; 0; ¡5) は和が 0 で大小関係も満たしますが， a = ¡d ではありません。したがって，最初に d = ¡a，c = ¡b と置くと，条件から示して いない性質を仮定することになります。 本問では，a + c = 1 と全体の和が 0 であることから b + d = ¡1 であり，この二つの式の 差を取ると， (a ¡ b) + (c ¡ d) = 2 となります。ここで，a + b = p が奇数なので a ¡ b = p ¡ 2b も奇数であり，c + d = ¡p が奇数なので c ¡ d = ¡p ¡ 2d も奇数です。しかも，大小関係から両方とも非負なので，ど ちらも 1 以上です。和が 2 であることから a ¡ b = c ¡ d = 1 と分かります。(*8) (*8) これは 答えに現れる対称性は，和が 0 であることに加え，素数の性質，大小関係，偶奇を組み合わせ わりに，隣り合う差を 使って最後の候補を絞 る方法です。 a + b = p と a ¡ b = 1，c + d = ¡p と c ¡ d = 1 をそれぞれ解けば，③に到達します。 p ≦ 2a ≦ p + 2 の代 た結果なのです。 ■ 復習のポイント 本問では，下記のポイントを重点的に復習しましょう。 ★★★★★ 因数分解への準備：和の条件で 1 文字を消し，素数を整数どうしの積で 表す ★★★★★ 素数の性質を使う前の確認：因数が正の整数であることと，その大小を 示す ★★★★★ 大小関係の再利用：残った文字の下限と上限を求める ★★★★☆ 整数条件の利用：狭い範囲に限定してから，偶奇で値を決める ★★★★☆ 候補の確認：求めた 4 数が整数であり，元の 3 条件を満たすことを確か める --- 4 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止
入試問題解説 補充問題 p を 3 以上の素数とする。3 個の整数 a，b，c が次の 3 条件 a + b + c = 0; a3 + b3 + c3 = 6p; a≧b≧c を満たすとき，p および (a; b; c) をすべて求めよ。 指針 / アプローチ 本問と同様に，和の条件を利用して素数を含む積の等式を作ることを考えます。今回は 3 次式 なので，c = ¡(a + b) を立方和に代入して整理するか，a3 + b3 + c3 ¡ 3abc の因数分解を 利用します。どちらの方法でも abc = 2p となります。 次に，和が 0 で積が正であることから各文字の符号を定め，負の数の符号を反転して正の整数 で表します。すると，正の整数 u; v に対する uv(u + v) = 2p という条件に直せます。p が 素数なので，u; v; u + v の少なくとも一つは p の倍数です。u または v が p の倍数だと積 が大きくなりすぎることを確かめ，u + v に限定します。 解答 恒等式 a3 + b3 + c3 ¡ 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ¡ ab ¡ bc ¡ ca) と a + b + c = 0 より，a3 + b3 + c3 = 3abc である。したがって，(*9) abc = 2p > 0 (*9) 和が 0 という条 ÝÝ ④ 3 数はすべて 0 でなく，積が正なので，すべて正であるか，正の数が一つ，負の数が二つであ 件を立方和に利用しま す。c = ¡(a + b) を 代入して展開しても， 同じ関係になります。 る。すべて正では和が 0 にならないから，大小関係より a > 0 > b ≧ c である。(*10) (*10) 積の符号だけで b = ¡u，c = ¡v とおくと，u; v は 1 ≦ u ≦ v を満たす整数であり，a = u + v である。 は各文字の符号は定ま りません。和が 0 とい う条件と大小関係も合 わせて使います。 ④より， uv(u + v) = 2p ÝÝ ⑤ p は素数なので，u; v; u + v の少なくとも一つは p の倍数である。もし u または v が p の 倍数なら，uv ≧ p，u + v ≧ p + 1 > 2 となるので，uv(u + v) > 2p となり，⑤に反する。 よって，u + v は p の倍数である。(*11) (*11) 積が p の倍数な そこで u + v = kp（k は正の整数）とおくと，⑤より kuv = 2 である。uv = 1 のときは ら，いずれかの因数が p の倍数になります。 ここで p が素数である ことを使います。 u = v = 1 となり，u + v = 2 < p なので不適切である。したがって，uv = 2，k = 1 であ り，u ≦ v より u = 1，v = 2 となる。よって， p = 3; (a; b; c) = (3; ¡1; ¡2) ÝÝ ⑥ 逆に，⑥では p = 3 は素数であり，3 ¡ 1 ¡ 2 = 0，33 + (¡1)3 + (¡2)3 = 18 = 6 ¢ 3， 3 ≧ ¡1 ≧ ¡2 を満たす。したがって，求める p および (a; b; c) は⑥である。 --- 5 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止
入試問題解説 答案記載上の注意点 ▼ ポイント 1：正の整数に置き換える前に符号を確定する b = ¡u，c = ¡v と置くだけでは，u; v が正であるとは限りません。abc > 0 より 0 を含ま ず，負の数は 0 個か 2 個です。和が 0 であることから負の数が 2 個と分かり，大小関係によっ て b; c が負と決まります。この順に説明してから 1 ≦ u ≦ v と記します。 ▼ ポイント 2：素数の性質と，大きさによる除外を区別する ⑤から分かるのは，まず u; v; u + v の少なくとも一つが p の倍数であることまでです。最 初から u + v = p と決めてはいけません。u; v が p の倍数となる場合を不等式で除き， u + v = kp と置きます。その後，kuv = 2 と和の条件を使って k = 1 に限定します。 ▼ ポイント 3：p の決定と候補の確認まで書く 本問では与えられた素数 p に応じて 4 数を表しましたが，補充問題では条件を満たす p 自体 も求めます。u = 1; v = 2 だけで終えず，p = u + v = 3 と (a; b; c) = (3; ¡1; ¡2) を 明記します。最後に，p が指定された素数であり，3 数が元の条件を満たすことを確認します。 解説 1. 恒等式を思い出せなくても，和の条件から始められる 3 次式の恒等式を知っていれば，a + b + c = 0 から直ちに a3 + b3 + c3 = 3abc と進められ ます。しかし，恒等式を思い出せなくても，和の条件を使って 1 文字を消す方法があります。 c = ¡(a + b) を代入すると， a3 + b3 + c3 = a3 + b3 ¡ (a + b)3 = ¡3ab(a + b) = 3abc となります。展開すると a3 ; b3 が消え，積の形だけが残ります。本問で d を消したときと同 じく，和の条件で文字を減らした後，式を整理することで因数分解につながります。 この問題で再利用したいのは，特定の因数分解の形ではなく， 「和の条件を，積を作るために使 う」という判断です。代入と恒等式の利用は，どちらも同じ関係を導いています。恒等式を用 いた解答だけを覚えるのではなく，代入によって自分で確かめられるようにしておきましょう。 2. 三つの因数のうち，どれが素数の倍数になるのか 本問では二つの正の整数の積が素数だったため，因数を 1 と p に定められました。補充問題 では三つの正の整数の積が 2p です。因数の値をいきなり決めるより，まず素因数 p がどこ に含まれるかを調べる方が整理しやすいです。 ここで重要なのは，三つの因数が独立ではなく，三つ目が前の二つの和になっていることです。 u または v が p 以上になると，その和 u + v は p + 1 以上になります。つまり，一つの因 --- 6 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止
入試問題解説 数を大きくすると別の因数も大きくなり，積が 2p を超えてしまいます。この関係を使うこと で，p の倍数となる因数を u + v に限定できます。(*12) (*12) 正の整数なの その後も u + v = p と即断せず，u + v = kp と置きます。kuv = 2 から積の候補を挙げ， で，p の倍数なら p 以 上です。他方の整数が 1 以上であることも 使っています。 u + v = kp に戻して不適切な場合を除きます。積だけでなく，因数間の和の関係を最後まで 使う点が，本問から一歩進んだ内容です。 3. 本問と補充問題で，条件の役割を比較する どちらの問題も，和の条件から積の等式を作り，符号を確かめて素数の性質を利用します。た だし，その後の絞り方は異なります。本問では二つの因数を決めた後，元の大小関係と偶奇で 残った文字を一つに限定しました。補充問題では，因数の一つが他の二つの和であることを使 い，p の倍数となる因数を限定しました。 また，補充問題の大小関係は，負の 2 数を b; c に定め，最後に u = 1; v = 2 と順序をそろ える役割を持ちます。本問のように，最後の整数の範囲を直接狭める条件ではありません。似 た条件が並んでいても，どの段階で何を限定できるかは，変形後の式に応じて判断する必要が あります。 --- 7 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止