入試問題解説028cl

入試問題解説 第 28 回：反 復 試 行 の 終 了 条 件 と確率の最大値 2021 札 幌 医 科 大 学 大 問 3

入試問題解説 問題 白玉 m 個と赤玉 n 個が入った袋がある。この袋の中から無作為に玉を 1 個取り出し， 色を確認して袋に戻す操作を 1 回の試行とし，これを繰り返す。ただし m; n は自然数 である。 白玉が k 回出たときに終了するとして，試行を開始してからちょうど x 回目の試行で 終了する確率を pk (x) と表すことにする。ただし k は自然数である。以下の問いに答 えよ。 (1) pk (k)，pk (k + 1) を求めよ。 pk (x + 1) を m; n; k; x を用いて表せ。 pk (x) (3) m = 3，n = 7，k = 2 のとき，pk (x) の最大値を求めよ。 (2) x ≧ k を満たす自然数 x に対して， (2021 札幌医科大学 大問 3) ■ 本問の学習テーマ・目的 試行が終了する条件から最後に白玉が出ることとそれまでに白玉・赤玉がそれぞれ何回 出るかを確かめます。さらに隣り合う項の比を用いて確率の増減を調べ，試行回数が整 数であることに注意して最大値を求めます。 指針 / アプローチ ▼ (1) 最後に出る玉の色 ▼ (2) 終了する確率とその比 ▼ (3) 比と 1 の大小関係 k 回目で終了するには毎回白玉が 出る必要があります。k + 1 回目 x 回目に白玉が出て，最初の x¡1 回に白玉が k ¡ 1 回出る確率を (2) の比に m; n; k の値を代入 し，1 との大小関係を調べます。 x が整数であることに注意して確 で終了する場合は最後が白玉であ ることから赤玉が出る回の選び方 を数えます。 求めます。その式から隣り合う項 の比を計算します。 率の増減を確かめます。 「x 回目で終了する」という条件から x 回目に 最初の x ¡ 1 回 は白玉が出ます。それ以前に白玉が k 回出ると 試行が終了してしまうため，最初の x ¡ 1 回に は白玉がちょうど k ¡ 1 回出る必要があります。 1 2 ? ? Ý 白 k¡1 回 赤 x¡k 回 x¡1 x 回目 ? 白 k 回目の白玉 ここで終了 この数え方を (1) で確かめてから (2) で pk (x) を表す式を求めます。(3) では階乗や累乗を 含む項どうしの差を計算するよりも (2) の比を 1 と比較する方が確率の増減を簡単に調べら れます。 --- 1 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 解答 (1) k m ; である。 m+n k + 1 回目で終了するには最後に白玉が出て，最初の k 回に赤玉が 1 回だけ出ればよい。赤玉 k 回目で終了するのは k 回とも白玉が出る場合だから，pk (k) = # が出る回は k 通りあるから pk (k + 1) = k # k m n ; m+n m+n (2) x ≧ k とする。x 回目で終了する条件は最初の x ¡ 1 回に白玉が k ¡ 1 回，赤玉が x ¡ k 回 出て，最後に白玉が出ることである。したがって pk (x) = x¡1 Ck¡1 # k x¡k n m ; # ; m+n m+n ÝÝ ① m; n は正なので pk (x) > 0 である。よって pk (x + 1) n nx x Ck¡1 = = C m + n pk (x) (m + n)(x ¡ k + 1) x¡1 k¡1 ÝÝ ② (3) p2 (1) = 0 である。②に m = 3，n = 7，k = 2 を代入すると，x ≧ 2 に対して p2 (x + 1) 7x 10 = である。この比が 1 より大きいのは x < ，すなわち x = 2; 3 3 p2 (x) 10(x ¡ 1) のときであり，x ≧ 4 では 1 より小さい。 よって p2 (2) < p2 (3) < p2 (4) > p2 (5) > Ý となり，最大値は p2 (4) = 3 C1 # 1323 3 2 7 2 ; # ; = 10 10 10000 答案記載上の注意点 ▼ ポイント 1：白玉が出る回の選び方 最後の x 回目には白玉が出ます。それ以外に白玉が出る k ¡ 1 回を最初の x ¡ 1 回から選ぶ ので，選び方は x¡1 Ck¡1 通りです。 ▼ ポイント 2：比を計算する範囲と分母の符号 x ≧ k では pk (x) > 0 なので比を計算できます。また x ¡ k + 1 ≧ 1 より②の分母は正なの で不等号の向きを変えずに分母を払って比と 1 を比較できます。 ▼ ポイント 3：比と隣り合う 2 項の大小関係 x = 3 で比が 1 より大きいことは p2 (4) > p2 (3) を意味します。確率が最大となる試行回数 を 3 と取り違えないよう隣り合う項の大小関係を書いて確かめます。 --- 2 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 解説 1. 白玉が 2 回出る条件と試行が終了する条件の違い k = 2，x = 4 として出た玉の色を順に並べま 回目 1 2 3 4 3 通りです。最後に白玉が出ることから最初の 3 白 赤 赤 白 回のどの回に白玉が出るかを選べば，並べ方が決 赤 白 赤 白 赤 赤 白 白 白 白 赤 赤 す。4 回目に 2 回目の白玉が出る並べ方は右図の まります。 最後は白 4 回の試行で白玉が 2 回出る並べ方は 4 C2 = 6 通りあります。しかし「白・白・赤・赤」では 2 除外 回目で試行が終了するため，p2 (4) の計算ではこ の並べ方を数えません。 2 回目で終了しています 一般の場合も最初の x ¡ 1 回に白玉が k ¡ 1 回出るなら，その途中で白玉が k 回出ることは ありません。したがって x 回目より前に試行が終了することはなく，途中の並べ方にさらに条 件を付ける必要はありません。 2. 組合せの数と累乗を含む式の比 ①で x を x + 1 に変えると白玉が出る回の選び方は x¡1 Ck¡1 通りから x Ck¡1 通りに変わり ます。赤玉が出る回数は 1 回増え，白玉が出る回数は k 回のままです。したがって比を取る と白玉が出る確率の累乗は約分でき，赤玉が出る確率の累乗は約分して n となります。 m+n 組合せの数の比も階乗を用いて表すと次のように整理できます。 x Ck¡1 x¡1 Ck¡1 = (k ¡ 1)!(x ¡ k)! x! x = x¡k+1 (k ¡ 1)!(x ¡ k + 1)! (x ¡ 1)! この結果を用いると隣り合う項の比は②の形になります。 3. 比と 1 の大小関係と確率が最大となる試行回数 7x 10 = 1 を解くと x = と 3 10(x ¡ 1) なります。x は整数なのでこの前後にある x = 3 (3) では p2 (x) x = 4 で最大 と x = 4 で隣り合う項の大小関係を確かめます。 x = 3 で は p2 (4) > p2 (3)，x = 4 で は 0:1 p2 (5) < p2 (4) となります。したがって p2 (4) まで増加し，その後は減少します。右図でも 4 回 目で終了する確率が最も高くなっています。 0 --- 3 --- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 4. 確率が最大となる試行回数が 2 個ある場合 x < k では pk (x) = 0 なので x ≧ k の範囲を考えます。②の分母は正なので比と 1 の大小 関係は nx ¡ (m + n)(x ¡ k + 1) = (m + n)(k ¡ 1) ¡ mx (m + n)(k ¡ 1) とおくと，x < h では pk (x + 1) > m pk (x)，x > h では pk (x + 1) < pk (x) です。x = h のときは隣り合う 2 項が等しくなり の符号で決まります。そこで h = ます。 k ≧ 2 では h > k ¡ 1 です。したがって h が整数なら h ≧ k であり，確率は x = h と x = h + 1 で最大になります。h が整数でない場合は h < r < h + 1 を満たすただ 1 個の整 数 r に対して x = r で最大になります。このときも r ≧ k です。 たとえば m = n ，k = 3 なら h = 4 です。 p3 (4) = p3 (5) x = 3 では比が 1 より大きく，x = 4 では 1 に 等しく，x ≧ 5 では 1 より小さくなります。その 増加 減少 ため 4 回目で終了する確率と 5 回目で終了する 確率は等しく，どちらも最大になります。 確率が最大となる試行回数を調べるときは比が 1 3 4 5 6 になる場合も確かめます。比が 1 になる整数 x m = n ，k = 3 の場合（模式図） x があれば，確率はその x と x + 1 の両方で最大 になります。 なお k = 1 では h = 0 です。x ≧ 1 に対して比がつねに n < 1 となるため，確率は m+n x = 1 から減少し，x = 1 で最大になります。 条件 確率が最大となる試行回数 k ≧ 2，h が整数 h と h+1 k ≧ 2，h が整数でない h < r < h + 1 を満たす整数 r k=1 1 これらの場合分けは隣り合う項の比と 1 との大小関係から導けます。本問のように m; n; k の値が与えられた場合は，その値を (2) の比に代入し，隣り合う項の大小関係を書けば十分 です。 ■ 復習のポイント ★★★★★ 終了条件：最後に白玉が出ることとそれ以前に白玉が出る回数を確かめ ます ★★★★★ 組合せ：最初の x ¡ 1 回から白玉が出る k ¡ 1 回を選びます ★★★★★ 確率の増減：正の項どうしの比を取り，1 と比較します ★★★★☆ 最大となる試行回数：比から隣り合う 2 項の大小関係を書きます ★★★☆☆ 等号の場合：比が 1 なら隣り合う 2 項が等しくなります --- 4 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止