四元数のはなし

四元数のはなし 宇佐見 公輔 第 6.5 回 関西日曜数学 友の会 1/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

今回はオンライン開催 ＊ いえのなかにいる ＊ 2/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

自己紹介 職業：プログラマ / 趣味：数学 最近の活動（登壇・ブログ・Twitter）： はじめて学ぶリー環 勉強ノート（4 月 19 日〜） Ising 模型 勉強ノート（3 月 29 日〜4 月 18 日） Onsager 代数の話（3 月 22 日 / 京都某所） はじめて学ぶリー群 勉強ノート（1 月 11 日〜3 月 28 日） リー代数と結合法則（2019 年 12 月 / Advent Calendar） 回転群のはなし（2019 年 11 月 / 関西日曜数学友の会） 行列の指数関数（2019 年 10 月 / 関西数学徒のつどい） リー代数の計算の楽しみ（2019 年 10 月 / マスパーティ） 3/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

今回の内容 四元数とは なぜ四元数というものが考えられたのか なぜ三元数はないのか なぜ四元数は交換法則を満たさないのか 4/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数とは 次の形であらわされる数を四元数（しげんすう / quaternion）と 呼びます（a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R）。 a0 + a1 i + a2 j + a3 k 虚数単位の積の規則 i, j, k（これらを虚数単位と呼ぶ）の積を以下で定義します。 i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1 ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j また、虚数単位と R とは可換とします。分配法則や結合法則は通 常どおり使えるものとします。 5/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

ハミルトンの関係式 1843 年にハミルトンが四元数を考え出しました。 ハミルトンが四元数のアイデアをひらめいたとき、嬉しさのあま り、そのとき渡っていた橋（アイルランドのダブリンにあるブ ルーム橋）に以下の式を刻んだといいます。 ハミルトンがブルーム橋に刻んだ関係式 i2 = j2 = k2 = ijk = −1 この関係式は、先ほどの「虚数単位の積の規則」と同値です。 6/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

素朴な疑問 四元数は複素数の拡張ですが、定義を見て、以下のような素朴な 疑問が浮かびます。 疑問 1 なぜ、複素数の拡張を考えたのでしょうか。 疑問 2 なぜ、「四元数」なのでしょうか。「三元数」ではダメなのでしょ うか。 疑問 3 なぜ、四元数は交換法則を満たさない定義になったのでしょうか。 交換法則を満たすような定義にはできないのでしょうか。 7/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

複素数と平面 複素数は、平面上の点との対応づけが考えられます。 a0 + a1 i ←→ (a0 , a1 ) ある複素数に対して、別の複素数をたしたりかけたりする操作 は、平面上で考えると、点を移動する操作と考えられます。 ここでは、特に複素数をかける操作に注目します。つまり、複素 数 α に複素数 β をかける操作が、平面上の点をどのように移動 させる操作なのかを考えてみます。 8/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

複素数の積と大きさ 複素数の大きさは |α| = q a02 + a12 で定義されます。平面上で考 えると、原点からの距離にあたります。 複素数の積と大きさ 複素数 α と複素数 β について以下が成り立ちます。 |αβ| = |α||β| 特に、大きさ 1 の複素数をかける操作は、平面上で考えると、原 点からの距離を変えない操作であることが分かります。実のとこ ろ、平面上の回転変換になります。 また、大きさが 1 でない複素数の場合は、回転と拡大縮小とを組 み合わせた変換になります。 9/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

複素数の拡張の動機 2 次元平面上の回転変換が、複素数の積で表現できることが分か りました。ここで「3 次元空間について同じようなことができな いか？」という発想が、ハミルトンが複素数の拡張を考えた動機 だったようです。 つまり、3 次元空間の点に対応する何らかの「数」を考えようと いうことです。そして、その「数」の積が空間上の回転や拡大縮 小の変換を表現するようにしたいわけです。そのためには、以下 の性質を持っていてほしいと考えられます。 新しい「数」に期待する性質 |αβ| = |α||β| 10/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

三元数の構想 仮に、三元数を考えてみます（a0 , a1 , a2 ∈ R）。 a0 + a1 i + a2 j 虚数単位について i2 = −1, j2 = −1 で、積は可換とします。 α = a0 + a1 i + a2 j の大きさを q |α| = a02 + a12 + a22 で定義します。|α| は 3 次元空間上で、原点から点 (a0 , a1 , a2 ) へ の距離にあたります。 11/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

三元数の積 2 つの三元数の積を計算してみます。 αβ = (a0 + a1 i + a2 j)(b0 + b1 i + b2 j) = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 + (a0 b1 + a1 b0 )i + (a0 b2 + a2 b0 )j + (a1 b2 + a2 b1 )ij ここで ij という項が出てきます。 積が三元数で閉じているためには、ij = x0 + x1 i + x2 j と書ける必 要があります。ij をどのように定義するべきかが悩みどころです。 特に、|αβ| = |α||β| を満たすようにしたい、という観点で考えて みます。 12/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

三元数の大きさについて考える 1 α2 （つまり α = β の場合）を考えてみます。 α2 = (a0 + a1 i + a2 j)2 = a02 − a12 − a22 + 2a0 a1 i + 2a0 a2 j + 2a1 a2 ij ここで仮に、2a1 a2 ij の項がなければ、 q |α2 | = (a02 − a12 − a22 )2 + (2a0 a1 )2 + (2a0 a2 )2 q = (a02 )2 + (a12 )2 + (a22 )2 + 2a02 a12 + 2a02 a22 + 2a12 a22 q = (a02 + a12 + a22 )2 = |α|2 となって綺麗におさまります。ということは、ij = 0 ではないか と思えてきます。 宇佐見 公輔 四元数のはなし 13/25

三元数の大きさについて考える 2 αβ についても考えてみます。先ほどのように ij の項を無視して みます。 (|αβ|)2 = (a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 )2 + (a0 b1 + a1 b0 )2 + (a0 b2 + a2 b0 )2 = (a0 b0 )2 + (a1 b1 )2 + (a2 b2 )2 + (a0 b1 )2 + (a1 b0 )2 + (a0 b2 )2 + (a2 b0 )2 + 2a1 b1 a2 b2 (|α||β|)2 = (a02 + a12 + a22 )(b02 + b12 + b22 ) 残念ながら、|αβ| = |α||β| とはならないようです。 積 αβ の ij の係数に a1 や b2 が出てきていたので、これをうまく 絡められればという雰囲気もあります。実のところ、上の (|αβ|)2 の式に (a1 b2 − a2 b1 )2 を足すことができればうまくいきます。 14/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

交換法則をあきらめる α2 を考えたときに 2a1 a2 ij の項に消えてほしかったわけですが、 そのためのアイデアとして、ij = 0 とする代わりに、ij = −ji とす る方法があります。 この場合、(a1 i)(a2 j) + (a2 j)(a1 i) が 2a1 a2 ij ではなく 0 になり ます。 こうして、交換法則をあきらめる代わりに、|α2 | = |α|2 が成り立 つようになります。 また、先ほどは触れませんでしたが、ij = 0 という規則では 「αβ = 0 であるにもかかわらず α も β も 0 ではない」という現 象が起こることを許してしまっていました。ij = −ji という規則 ならば、この点は問題ありません。 15/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

第 3 の虚数単位 ij = −ji という規則を入れて、|αβ| = |α||β| はどうなるでしょ うか。 この場合、(a1 i)(b2 j) + (b2 j)(a1 i) = (a1 b2 − b1 a2 )ij となります。 係数に (a1 b2 − b1 a2 ) が出てくるのは良さげな雰囲気です。 しかし、ij = x0 + x1 i + x2 j と書けなければならないのが障害とな ります。実数項や i, j の係数と衝突してしまって、|αβ| = |α||β| となる形は見つかりそうにありません。 そこで三元数の枠をこえて、第 3 の虚数単位 k = ij の導入が必要 になりました。 16/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数の積 三元数（と呼んでいたもの）で発生していた問題が、四元数の世 界で解決されていることを確かめておきます。 k の係数が 0 の四元数を考えます。その積は以下のようになり ます。 αβ = (a0 + a1 i + a2 j)(b0 + b1 i + b2 j) = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 + (a0 b1 + a1 b0 )i + (a0 b2 + a2 b0 )j + (a1 b2 − a2 b1 )k 17/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数の大きさについて考える 1 α2 （つまり α = β の場合）について見ます。 α2 = (a0 + a1 i + a2 j)2 = a02 − a12 − a22 + 2a0 a1 i + 2a0 a2 j k の係数が 0 になってくれています。したがって、 q |α2 | = (a02 − a12 − a22 )2 + (2a0 a1 )2 + (2a0 a2 )2 q = (a02 + a12 + a22 )2 = |α|2 となって問題ありません。 18/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数の大きさについて考える 2 αβ について見ます。 (|αβ|)2 = (a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 )2 + (a0 b1 + a1 b0 )2 + (a0 b2 + a2 b0 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 = (a0 b0 )2 + (a1 b1 )2 + (a2 b2 )2 + (a0 b1 )2 + (a1 b0 )2 + (a0 b2 )2 + (a2 b0 )2 + (a1 b2 )2 + (a2 b1 )2 = (a02 + a12 + a22 )(b02 + b12 + b22 ) = (|α||β|)2 となって問題ありません。 19/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数の大きさ k の項も含めた 2 つの四元数の積を計算してみます。 αβ = (a0 + a1 i + a2 j + a3 k)(b0 + b1 i + b2 j + b3 k) = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 + (a0 b1 + a1 b0 + a2 b3 − a3 b2 )i + (a0 b2 − a1 b3 + a2 b0 + a3 b1 )j + (a0 b3 + a1 b2 − a2 b1 + a3 b0 )k 項の数が多くて大変ではありますが、直接計算することで |αβ| = |α||β| が成り立つことを確認できます。 20/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数と 4 次元空間との対応 こうして、複素数の拡張として四元数がえられました。 ところで、複素数を拡張する動機を振り返ると、3 次元空間の回 転を記述する数が欲しいというものでした。しかし、実際にえら れた四元数は、4 次元空間と対応するものになっています。 a0 + a1 i + a2 j + a3 k ←→ (a0 , a1 , a2 , a3 ) 四元数に四元数をかける操作は、4 次元空間での回転にあたり ます。 21/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

純虚四元数と 3 次元の回転 3 次元空間と対応させるためには、四元数の虚数部分のみを使い ます（純虚四元数）。 a1 i + a2 j + a3 k ←→ (a1 , a2 , a3 ) 純虚四元数は積について閉じていません。このため、扱いに注意 が必要です。 純虚四元数を使った 3 次元空間の回転は、積ではなく以下の操作 （随伴）であらわされます。 α 7→ βαβ −1 （α は純虚四元数、β は純虚に限らない四元数） 22/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

四元数のオイラーの公式 回転の話題に関連して、オイラーの公式の四元数バージョンを紹 介しておきます。 複素数の場合は、以下でした。 eiθ = cos θ + i sin θ 四元数の場合は、以下のようになります。 p eiθ+jφ+kψ = cos θ2 + φ2 + ψ 2 p iθ + jφ + kψ +p sin θ2 + φ2 + ψ 2 θ 2 + φ2 + ψ 2 23/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

発展的な話題 四元数の先には、さらに八元数もあります。 実数を 2 つ使って、複素数を構成することができます。 複素数を 2 つ使って、四元数を構成することができます。四 元数では交換法則が崩れます。 四元数を 2 つ使って、八元数を構成することができます。八 元数では結合法則が崩れます。 四元数や八元数の応用のひとつとして、リー群やリー代数があり ます。 四元数や八元数は、リー群やリー代数の構成に使われます。 特に、例外型（G2 、F4 、E6 、E7 、E8 ）リー群やリー代数の 構成では八元数が重要です。 24/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし

参考文献 最近出た、以下の本を参考にさせていただきました。良い本だと 思います。おすすめ。 松岡 学 「数の世界 自然数から実数、複素数、そして四元数へ」 講談社ブルーバックス 25/25 宇佐見 公輔 四元数のはなし