平面の敷き詰めとルート系

平面の敷き詰めとルート系 宇佐見 公輔 2020 年 06 月 28 日 日曜数学会 1/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

自己紹介 職業：プログラマ / 趣味：数学 最近の活動（登壇・ブログ・Twitter）： 四元数のはなし（2020 年 5 月 / 関西日曜数学友の会） はじめて学ぶリー環 ノート（2020 年 4 月〜 / Twitter） Ising 模型 ノート（2020 年 3 月〜4 月 / Twitter） Onsager 代数の話（2020 年 3 月 / 京都某所） はじめて学ぶリー群 ノート（2020 年 1 月〜3 月 / Twitter） リー代数と結合法則（2019 年 12 月 / Advent Calendar） 回転群のはなし（2019 年 11 月 / 関西日曜数学友の会） 行列の指数関数（2019 年 10 月 / 関西数学徒のつどい） リー代数の計算の楽しみ（2019 年 10 月 / マスパーティ） 2/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

平面の敷き詰め問題 問題 三角形を辺で折り返す操作を繰り返すとき、互いに重ならずに、 すき間なく平面を敷き詰めることができる条件は？ 3/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

ヒント 三角形の各頂点に A、B、C と名前をつけておきます。 C A B 頂点 A のまわりには、頂点 B、C は来ません。よって、∠A の整 数倍が 360◦ ちょうどになる必要があります。（∠B、∠C も同様） 頂点 A のまわりに集まる角が奇数個の場合、辺 AB と辺 AC が 重なるため、AB = AC である必要があり、∠B = ∠C となりま す。 （B、C についても同様） 4/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

平面の敷き詰め問題の解 先ほどのヒントがあれば、あとは場合分けして解くことができ ます。 5/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

リー代数 話は変わって・・・ リー代数 ベクトル空間 =「加法」と「スカラー倍」 リー代数 = ベクトル空間 + 第 3 の演算「ブラケット積」 ブラケット積が満たすべき条件 1 [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z], [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y]（双線型性） 2 [x, x] = 0 ( =⇒ [x, y] = −[y, x])（交代性） 3 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0（Jacobi identity） 6/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

リー代数はどこで出てくるか リー代数は、代表的なものとしては以下のようなところで出てき ます。 リー群とリー代数 リー群（群構造を持つ微分多様体）の接ベクトル空間がリー代数 になります。 数理物理モデルとリー代数 例えば、強磁性体のモデルであるイジングモデルは、厳密解を リー代数を使って求めることができます。 7/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

ディンキン図形 実のところ僕は、リー群や数理物理とは無関係なところから、 リー代数に興味を持ちました。そのきっかけがディンキン図形。 Example (ディンキン図形) 8/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

ディンキン図形の種類 ディンキン図形を初めて見かけたとき、 「これはなんだろう？」と 不思議に思ったのが第一印象。「これって数学・・・？」 その後、有限次元複素単純リー代数の分類がこの図形で行われる ことを知り、リー代数の理論に興味を持ちました。 ディンキン図形の種類（有限次元複素単純リー代数の分類） An (n = 1, 2, 3, 4, 5, . . .) Bn (n = 2, 3, 4, 5, . . .) Cn (n = 3, 4, 5, . . .) Dn (n = 4, 5, . . .) E6 , E7 , E8 , F4 , G2 9/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

ルート系 ルート系は、ユークリッド空間内のベクトルの集合で、ある公理 を満たすものです。 ディンキン図形は、ルート系を特定のルールによって図で表現し たものです。ルート系とディンキン図形は 1 対 1 対応しています。 2 次元のルート系は、A2 , B2 , G2 があります。 10/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

なんか似てる 平面の敷き詰め問題の解 ルート系 11/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

平面の敷き詰めとルート系 実は対応関係があります。（注：G2 は例外的に 2 つと対応して いる） 12/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

空間の敷き詰め この対応関係は 2 次元だけでなく、より高い次元でも成り立ち ます。 問題 三角錐を面で折り返す（鏡映）操作を繰り返すとき、互いに重な らずに、すき間なく空間を埋め尽くすことができる条件は？ 3 次元のルート系は、A3 , B3 , C3 があります。このそれぞれにつ いて、3 次元空間を埋め尽くす三角錐が対応しており、上記の問 題の解はその 3 通りです。 4 次元以上でも同様です。単体（三角形や三角錐）を超平面で鏡 映する操作を繰り返すとき、互いに重ならずに、すき間なく空間 を埋め尽くすことができるものは、その次元のルート系と対応し ています。 13/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系

参考文献 松澤淳一、特異点とルート系、朝倉書店（すうがくの風景シ リーズ 6） 松澤淳一、数学セミナー 2009 年 10 月号 ディンキン図形と ルート系、日本評論社 14/14 宇佐見 公輔 平面の敷き詰めとルート系