四元数と回転

四元数と回転 宇佐見 公輔 2022 年 1 月 22 日 1/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

自己紹介 宇佐見 公輔（うさみ こうすけ） 職業：プログラマ 趣味：数学 今日の話に関連する過去の登壇： 四元数のはなし（2020 年 5 月 / 関西日曜数学友の会） 八元数のはなし（2021 年 10 月 / 日曜数学会） 2/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

自己紹介 近況： 今年から、株式会社ゆめみ所属 ゆめみメンバーによるグループ Liberal Arts Lab の紹介： 2 月 3 日：タカタ先生のお笑い数学全史・第十四章 produced by Liberal Arts Lab × 日本お笑い数学協会 2 月 24 日： 「僕の本、こう活かそう！」〜数学のお兄さんの 書籍を使った算数・数学の学び方〜 produced by Liberal Arts Lab × 日本お笑い数学協会 3/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

四元数とは 四元数 𝑥0 + 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k（𝑥𝑖 ∈ ℝ）とあらわされる数。 i2 = j2 = k2 = −1 ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j 加減乗除が可能（特に除法が可能）。 分配法則、結合法則、加法の交換法則が成り立つ。 乗法の交換法則が成り立たない。 4/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

四元数の大きさ 四元数の大きさ（絶対値） 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k（𝑥𝑖 ∈ ℝ）の大きさ |𝑥| は、 |𝑥| = √𝑥20 + 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 で、大きさは乗法によって保たれる。 |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦| ハミルトンは、この性質が成り立つようなものを探した結 果、三元数を作ることはできず、四元数になった。 5/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

2 次元平面上の回転 2 次元平面上の回転 複素数 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥1 i に大きさ 1 の複素数 𝑞 をかける操作は、2 次 元平面上の回転をあらわす。 𝑥 ↦ 𝑞𝑥 |𝑞𝑥| = |𝑞||𝑥| = |𝑥| なので原点からの距離が保たれる。 6/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

4 次元空間上の回転 4 次元空間上の回転 四元数 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k に大きさ 1 の四元数 𝑞 をかける操 作は、4 次元空間上の回転をあらわす。 𝑥 ↦ 𝑞𝑥 |𝑞𝑥| = |𝑞||𝑥| = |𝑥| なので原点からの距離が保たれる。 7/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

3 次元空間を考える ハミルトンは 3 次元空間上の回転を表現する方法が欲しかったの だが、三元数は作れなかった。 四元数は 4 次元空間の点に対応する。 𝑥0 + 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k ↔ (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) 四元数の虚数部だけを使うことにして（純虚四元数） 、3 次元空間 と対応するようにしてみる。 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k ↔ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) 8/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

純虚四元数 純虚四元数は残念ながら乗法で閉じていない。 (𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k)(𝑦1 i + 𝑦2 j + 𝑦3 k) = − (𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + 𝑥3 𝑦3 ) + (𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2 )i + (𝑥3 𝑦1 − 𝑥1 𝑦3 )j + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )k そのため、単純に乗法で 3 次元空間上の回転を表現することはで きない。 9/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

3 次元空間上の回転 実は次のように表現することができる。 3 次元空間上の回転 純虚四元数 𝑥 = 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k に対して、大きさ 1 の四元数 𝑞 を 使った次の操作は、3 次元空間上の回転をあらわす。 𝑥 ↦ 𝑞𝑥𝑞 −1 𝑞𝑥𝑞 −1 は純虚四元数になる。 10/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

3 次元空間上の回転とは 3 次元空間上での回転を少し噛み砕いて考えてみる。 2 次元平面上の原点中心の回転は、角度だけで決まっていた。 3 次元空間上の原点中心の回転は、それに加えて「どの方向に回 転させるか」の情報がないと決まらない。言い方を変えると、 「ど の平面上で回転させるか」とも言える。 つまり、3 次元空間上の原点中心の回転は、平面を指定する法線 ベクトル 𝑛 と、その平面上で回転させる角度 𝜃 との 2 つの情報で 決まる。 （こういうことをビジュアライズする能力が欲しい・・・） 11/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

3 次元空間上の回転（再） 3 次元空間上の回転 点 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) を法線ベクトル 𝑛 = (𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 )（ただし |𝑛| = 1 とする）で決まる平面上を 𝜃 だけ回転させる操作を考える。 純虚四元数 𝑥 = 𝑥1 i + 𝑥2 j + 𝑥3 k に対して、大きさ 1 の四元数 𝑞 = cos 𝜃 𝜃 + (sin ) (𝑛1 i + 𝑛2 j + 𝑛3 k) 2 2 を使った次の操作 𝑥 ↦ 𝑞𝑥𝑞 −1 は、上述の 3 次元空間上の回転をあらわす。 12/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

3 次元空間上の回転の不思議 実際に回転であることの説明はここではしないけれど、3 次元空 間の点と純虚四元数との対応を念頭に置いて、変換 𝑥 ↦ 𝑞𝑥𝑞 −1 が 回転になっているらしいというのを飲み込んだとして。 さらに考えてみると、大きさ 1 の四元数を集めた集合は、乗法で 群をなす。𝑥 ↦ 𝑞𝑥𝑞 −1 という操作は、群の言葉でいえば共役をと る操作。純虚四元数に対して、大きさ 1 の四元数の群の元で共役 をとるのが、回転変換あるいは鏡映変換に対応すると考えられる。 それでも、𝑥 ↦ 𝑞𝑥𝑞 −1 という操作は、ちょっと不思議な感じが する。 13/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

3 次元空間上の回転の不思議 𝑥 と 𝑞𝑥𝑞 −1 は純虚四元数であり、3 次元空間の点と対応している。 しかしその過程で出てくる 𝑞𝑥 あるいは 𝑥𝑞 −1 は純虚四元数では ない。 つまり、3 次元空間上の回転をあらわすために、一度 4 次元の世 界に飛び出している。 左から 𝑞 をかける操作で、実軸方向に (𝑞|𝑥) だけずれた世界で、外 積 𝑞 × 𝑥 をとる。 そこに右から 𝑞 −1 をかける操作で、実軸方向にずらして元の世界 に戻ってきて、外積をとる。 これが実は回転になっているというのである。不思議な感じがし ませんか？ 14/15 宇佐見 公輔 四元数と回転

参考文献 結論的な話がない感じですが、参考文献を挙げておきます。 これらには先ほどの操作が 3 次元空間をあらわすことの証明や説 明が書かれています。 松岡 学「数の世界 自然数から実数、複素数、そして四元数 へ」講談社ブルーバックス 矢野 忠「四元数の発見」海鳴社 今野 紀雄「四元数」森北出版 15/15 宇佐見 公輔 四元数と回転