ソリトンとリー代数

ソリトンとリー代数 宇佐見 公輔 2023 年 2 月 11 日 1/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

はじめに 今年 1 月に佐藤幹夫先生が亡くなられました。 佐藤幹夫先生の業績はいろいろとありますが、個人的にはソリト ン理論が印象深いです。 今回は、佐藤幹夫先生の理論を中心にソリトン研究の歴史につい て話します。 なお、このあたりの話はすでに専門家による優れた解説文や書籍 があります。もし興味を持った方がおられたら、それらをぜひご 参照ください。 2/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

線形な波・非線形な波 波は微分方程式で記述される。 たとえば、真空中の電磁波は以下の方程式で記述される。 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 = 𝑐2 2 2 𝜕𝑡 𝜕𝑥 線形な波： 解と解の和も解になる（重ね合わせの原理）。 真空中の電磁波などがある。 非線形な波： 解と解の和が解になるとは限らない。 水面の波などがある。 3/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

ソリトン 非線形な波は通常、波と波が衝突すると形が崩れて元に戻らない。 しかし、非線形な孤立波でありながら、衝突しても崩れないもの がある。これをソリトンと呼ぶ（1965 年にザブスキーとクルスカ ルによって命名された）。 ソリトン解を持つ非線形方程式は、たとえば KdV 方程式がある。 ほかにも、KP 方程式、非線形シュレディンガー方程式、サインゴルドン方程式、戸田格子、などがある。 4/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

ソリトンの発見 1834 年、ラッセルが、エジンバラの運河で形を変えない水面波 （ソリトン）を観測。この孤立波に関する実験をおこなう。 1895 年、コルテヴェーグとド・フリースが、ラッセルの波に対応 する微分方程式（KdV 方程式）を提出。1-ソリトン解を求める。 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕3 𝑢 + 6𝑢 + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥3 ソリトン発見当時は、特定の方程式に対する特殊事情と思われて いた。また、非線形方程式であるため、研究が困難だった。 5/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

逆散乱法 1965 年、ザブスキーとクルスカルが、コンピューターによる実験 で KdV 方程式の 1-ソリトン解を得る。 1967 年、ガードナー、グリーン、クルスカル、ミウラが、逆散乱 法で KdV 方程式の 𝑁-ソリトン解を求める。 逆散乱法の成功を機に、ソリトンの数理的研究が盛んになる。こ の時代にさまざまなソリトン方程式が発見され解かれる。 ソリトン方程式は「無限自由度の可積分系」として数学の研究対 象となる。 6/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

佐藤理論 1970 年代、広田が、ソリトン方程式に対する広田の直接法を考案 する。逆散乱法を使わず、双線形方程式に変換して解く手法。 1981 年、佐藤幹夫が、KP 方程式（ソリトン方程式）の解全体が グラスマン多様体をなすことを示す。 これによって、広田の直接法の幾何的・代数的な意味がわかると ともに、ソリトン方程式の可積分性の根源が見えてきた。 これを機にさまざまな可積分系の代数的構造の研究が盛んになる。 7/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

ソリトン方程式とアフィンリー代数 1970 年代、素粒子論の研究で頂点作用素という概念が現れた。 1978 年、レポウスキー、ウィルソン、カッツ、フレンケルが、頂 点作用素がアフィンリー代数の実現と結びつくことを発見する。 1981 年、伊達、神保、柏原、三輪が、ソリトン方程式の解の変換 群のリー代数がアフィンリー代数であることを示す。 これによって、ソリトン方程式や可積分系とアフィンリー代数が 関連していることが見出された。また、ソリトンや可積分系にあ る対称性が見えてきた。 8/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

その後の展開 1970 年代〜1980 年代は、ソリトンに限らず、物理と数学とで別 個に研究されていたさまざまな事柄が結びついていった時代。 統計物理の格子模型がアフィンリー代数と関連していることが見 出されたのもこのころ。格子模型はソリトンとも関連がある。 また、リー代数の変形が研究され、量子群が生まれた。量子群は 数理物理のさまざまなところで関連がある。 9/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

余談（最近個人的におもしろかったこと） Perplexity に何気なく Onsager 代数のことを質問したら、以前に 僕が関西日曜数学友の会で話した件が返ってきた。 チャット AI、日曜数学の情報まで捕捉しているとは。 10/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数

参考文献 上野喜三雄、ソリトンがひらく新しい数学、岩波書店、1993 理論が生まれた当時の熱気が伝わってくる読みものです。今回の 話はこの本の内容をベースにしました。 三輪哲二・神保道夫・伊達悦朗、ソリトンの数理、岩波書店、1993 理論の内容を詳しく解説した本です。もともとは岩波講座応用数 学シリーズのなかの 1 冊で、2007 年に単行本化され、2016 年には 岩波オンデマンド版が出ています。 11/11 宇佐見 公輔 ソリトンとリー代数