ウェーブレット変換の基礎と応用事例：連続ウェーブレット変換を中心に

ウェーブレット変換の基礎と応用事例 ― 連続ウェーブレット変換を中心に ― 橘 亮輔 2007.3.1 1

目次 概要 ◼ ◼ ◼ ウェーブレット変換の基本的なアイディア 時間－周波数解析 2次元（画像）のウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換 ◼ ◼ ◼ 歴史 変換と逆変換 具体例 フーリエ変換との比較 ◼ ◼ 畳み込み・相互相関・内積と周波数特性 窓付きフーリエ変換とウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換の応用事例 離散ウェーブレット変換の概要 ◼ ◼ 冗長性の排除と直交変換 多重解像度解析 まとめと展望 2

概要 3

ウェーブレット変換とは ウェーブレット変換は信号の特性を解析する手段のひとつ フーリエ変換（FT） ◼ ◼ ◼ 正弦波の足し合わせ 基本的に無限であることを仮定 定常的な信号を解析するのには有用だが，非定常なものには良 くない 短時間（窓付き）フーリエ変換（STFT） ◼ 逆変換が存在しない ウェーブレット変換（WT） ◼ ◼ ◼ ◼ ウェーブレットの例 ウェーブレット（wavelet; 局在波）の足し合わせ 逆変換が存在する 「時間―周波数」解析 不規則，間欠的，非定常な信号の解析 4

ウェーブレット変換の基本的なアイディア 元信号 ウェーブレット変換 スケール 周波数 フーリエ変換 シフト 5

2つの操作：シフトとスケーリング マザーウェーブレット 元のウェーブレット（マザーウェーブレット） に対して，2種類の操作を行う。 ◼ ◼ 平行移動（shift, translation） 拡大縮小（scaling, dilation） 平行移動（シフト，トランスレーション） 拡大縮小（スケーリング，ダイレーション） 様々な幅，様々な時間位置のウェーブレッ ト群をつくる ◼ ◼ 幅が広いウェーブレットはゆっくりと変化す る成分（低周波数）。 幅が狭いウェーブレットは微細な変動成分 （高周波数）。 6

ウェーブレット変換の計算 スケールa，シフトbのウェーブレットと元 信号の類似をみる 信号 x(t) ◼ t ◼ 相関が高ければ変換係数は高い値に 様々なa, bについて行う 連続ウェーブレット変換（CWT） ◼ a, bが連続値 離散ウェーブレット変換（DWT） ◼ a, bが離散値（主に2のべき乗） フーリエ変換とフーリエ級数の関係と同 じ 逆変換可能 ◼ 変換係数を各ウェーブレットに掛けて足 し合わせる 7

時間ー周波数解析 変換された係数はa,b二次元平面上にマッピングされる スケール（周波数） スカログラム（scalogram = scale + gram） a2 a1 b1 b2 シフト（時間） 8

時間解像度と周波数解像度 各スケールにおいて時間分解能と周波数分解能の大きさがトレードオフ 高い周波数ほど： 時間分解能↑ ／ 周波数分解能↓ ◼ 詳細は後ほど，フーリエ変換と比較しながら説明 窓付きフーリエ変換 窓幅：大 (narrowband) 窓幅はスケールに よって異なる 周波数 窓幅：小 (wideband) ウェーブレット変換 時間 9

スカログラムの例 スケール（周波数） 「あい」 スペクトログラム wideband narrowband シフト（時間） CWT（複素モルレー）の絶対値振幅 10

2次元ウェーブレット変換（画像） ◼ ◼ ◼ ◼ 2つのシフトパラメタ 1つのスケールパラメタ 「場所－周波数解析」 局所的な空間周波数が分 かる スケール 変換は3次元になる． シフトy シフトx 11

ここまでのまとめ ウェーブレット（局在波）の足し合わせに分解する ◼ スケーリング（拡大縮小）とシフト（平行移動） パラメタが連続的なものをCWT，離散的なものをDWT ◼ フーリエ変換とフーリエ級数の関係と同じ 時間－周波数解析 ◼ ◼ ◼ 時間と周波数の両方に「無理なく」分解．スカログラム スケールによって時間－周波数分解能が異なる 高い周波数ほど，時間Good，周波数Bad 画像の場合は「場所－周波数解析」 ◼ 3次元の変換 12

本発表のゴール 道具として利用するための，はじめの一歩 ◼ ◼ ◼ ◼ 数学的基礎の紹介 利点と制約 勘を掴む 応用事例の紹介 数学的・工学的な視点を広げる ◼ ◼ ◼ フーリエ変換とは異なる視点を持つこと 時間―周波数解析の展望 生体モデルとしての可能性 13

参考文献 図説 ウェーブレット変換ハンドブック／朝倉書店／新他訳／2005，Addison, 2002  広く浅く偏りなく。CWTについてもしっかり取り上げている。前半を理論，後半を応用事例を大量に 集めてきて紹介。 ウェーブレット入門―数学的道具の物語―／BBハバード著  物語としてのウェーブレット。本文は読み物として進むが，補足は数学的に充実させている。 Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms / Prentice-Hall / Burrus, 1998  DWTの数学の基本を体系的に説明。2次元はあまり扱わない。DWTの理論は主にMallatと Doubeciesの体系による。 ウェーブレットによる信号処理と画像処理／共立出版／中野他／1999  理論は浅く。Ｃプログラム掲載。比較的新しい応用も。意味不明な比喩が気になる。 最新ウェーブレット実践講座 入門と応用／ソフトバンク／戸田／2005  Ｃプログラムリストを中心に進めていく。ほとんどがプログラム 14

連続ウェーブレット変換 15

目次 概要 ◼ ◼ ◼ ウェーブレット変換の基本的なアイディア 時間－周波数解析 2次元（画像）のウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換 ◼ ◼ ◼ 歴史 変換と逆変換 具体例 フーリエ変換との比較 ◼ ◼ 畳み込み・相互相関・内積と周波数特性 窓付きフーリエ変換とウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換の応用事例 離散ウェーブレット変換の概要 ◼ ◼ 冗長性の排除と直交変換 多重解像度解析 まとめと展望 16

歴史 ウェーブレット変換に似たアイディアはもともと数多くあった。 1980年代中ごろ，現在の手法。ただし広まらず。 1990年代初頭から，理論体系と実践。 様々なルーツが考えうるが，ジャン・モルレーMorletはよく引き合いに出される。 ◼ ◼ 仏大手石油会社勤務の地球物理学者。地中の石油を見つける探査業務のために 独自にウェーブレットを作り出した。 はじめは窓付きフーリエを使っていたが，窓幅決定が手間であった。そこで，周波 数に応じて窓幅を変えるというＷＴを提唱した。CWT。1981年ごろ． その後，理論的に整備。ステファン・マラーMallatが画像処理や信号処理の分 野と結び付け，2進DWTに理論的な体系を与えた。1986年ごろ ◼ 現在ではDWTが良い体系を持っている。数学的に強固な体系が構築された。 ◼ 画像圧縮（JPEG2000）， 数学的に体系だっているのはDWT。圧縮，通信。解説書はDWTが多い。 実環境の信号解析ではCWTのほうが有効である場合が多い。実践的。 17

マザーウェーブレットのscalingとshift マザーウェーブレット： 大 スケールa，シフトbのウェーブレット： a スケーリングに対してエネルギー を一定にするための補正 小 • aを大きくすればマザーウェーブレットは引き伸ばされる。したがってより大まか変 動を解析するのに適したウェーブレットとなる • bを大きくすれば，時間が正の方向に平行移動する（遅延する）。 18

連続ウェーブレット変換（CWT） 連続ウェーブレット変換の式 ◼ x(t) : 元信号 Wψ[ . ]：ウェーブレットψに基づいたウェーブレット変換 ◼ T(a, b) : ウェーブレット変換係数 ◼ a : スケールパラメータ ◼ b : シフトパラメータ ◼ ψa,b : スケールa, シフトbのウェーブレット ◼ * は複素共役を表す ◼ a, bが連続的な実数 19

逆連続ウェーブレット変換（ICWT） CWTの結果 ウェーブレット ◼ aとbについての二重積分 ◼ T(a, b) : 変換係数 ◼ Cψ : マザーウェーブレットの種類によって変わる定数（後で説明） ウェーブレット変換逆変換 20

具体的に… マザーウェーブレットの種類は色々ある ◼ ◼ ◼ ◼ メキシカンハット（mexican hat） 複素モルレー（complex Morlet） ハール（Haar） メイエ－ルマリエ ・・・ 21

例） メキシカンハットウェーブレット マザーウェーブレットψ(t)がメキシカンハット ◼ ◼ ガウス関数の二階微分 実数関数なので複素共役は考えない。 マザーウェーブレット ウェーブレット ウェーブレット変換 22

スケール a メキシカンハットCWT シフト b 23

メキシカンハットICWTとフィルタリング T(a, b) ICWT x(t) 24

例） 複素モルレーウェーブレット 包絡がガウス曲線で，キャリアが複素サイン 包 絡 ガウス曲線 複素サイン 実 部 虚部 ◼ σ : 包絡線の幅（1がよく使われる） ◼ ω0 : 複素サインの角周波数（5, 6, πなどが使われる） 25

複素モルレーCWT 元信号 実部 虚部 絶対値 （振幅） 位相 complex Morlet (σ =1, ω0=π) 26

複素モルレー，Matlab GUI demo 27

ウェーブレットの条件 元信号は自乗可積分 アドミッシブル条件: 逆変換が存在する条件 マザーウェーブレッ トのフーリエ変換 マザーウェーブレットは不連続点を持っていてもよい 28

CWTのまとめ ウェーブレット変換の体系が明確になったのは80年代以降である CWT，ICWTに必要な数学的表記 マザーウェーブレットは色々提案されている ◼ ◼ メキシカンハットと複素モルレーの例 目的に応じて使えばよい ウェーブレット変換が可能な条件 29

フーリエ変換との比較 理論背景 30

目次 概要 ◼ ◼ ◼ ウェーブレット変換の基本的なアイディア 時間－周波数解析 2次元（画像）のウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換 ◼ ◼ ◼ 歴史 変換と逆変換 具体例 フーリエ変換との比較 ◼ ◼ 畳み込み・相互相関・内積と周波数特性 窓付きフーリエ変換とウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換の応用事例 離散ウェーブレット変換の概要 ◼ ◼ 冗長性の排除と直交変換 多重解像度解析 まとめと展望 31

フーリエ変換とウェーブレット変換 ウェーブレット フーリエ 内積 どちらも積分変換＝変換核を軸にパラメタを変換する ◼ ウェーブレット変換： ψa,b ウェーブレット ◼ フーリエ変換： eiwt (= coswt + isinwt) 複素サイン波 元信号と「変換核」との内積 32

相互相関，畳込み ウェーブレット変換を相互相関や畳込みとしても考えることができる 相互相関関数 畳込み積分 33

CWTを畳み込みで考える スケールaのウェーブレット をψaとする （相互相関） （畳み込み） →元信号とスケールaのウェーブレットψaとの相互相関関数 →ψaの複素共役の左右反転したものを畳み込んでいる． 34

インパルス応答としてのウェーブレット ウェーブレットをFIRフィルタのインパル ス応答としてみる。 ◼ ウェーブレットが偶関数（左右対称）の 場合は，畳込み積分とまったく同じ。 constant-Qバンドパスフィルタバンクで ある。 ◼ スケールaが連続値＝中心周波数が 連続的に変化する。 35

短時間フーリエ変換との比較 複素モルレーウェーブレット変換 ◼ ω0を固定して，全体のスケールを変える 包絡 キャリア ガウス窓付き短時間フーリエ変換 ◼ 時間窓長を固定して，周波数ωを変える 窓 変換核 36

CWTの冗長性 CWTは冗長な表現である ◼ 隣り合ったスケールに同じ情報が入る＝通過帯域が重なっている そもそも変換後に次元数が増える 真実 サイン波の線 スペクトル 周波数 CWT 周波数 ◼ 時間 中心周波数が連続 的に変化するBPF 見え方 冗長な表現 37

CWTの冗長性と隆線抽出法 CWTはスケールとシフトの両面で冗長で ある。 ◼ ◼ １つのウェーブレットで符号化された情報の 大部分が隣のウェーブレットによってまた 符号化される，という風に互いに部分的に 重なり合っている。 本質的な情報のみを残して単純化しても再 構成可能であることが多い。 冗長な表現 隆線抽出 隆線（ridge）抽出法 ◼ スケルトン化とも言う。 ICWT 38

隆線抽出の例－Matlab Demo 39

フーリエ変換との比較のまとめ WTは積分変換である ◼ ◼ ◼ 元信号と変換核との内積 フーリエ変換は複素サイン波を変換核 ウェーブレット変換はウェーブレットを変換核 WTは相互相関，あるいは畳み込みと見なすことも可能 ◼ ◼ ウェーブレットをインパルス応答としてみる Q値一定の中心周波数が異なるバンドパスフィルタ ガウス窓付き短時間フーリエ変換との比較 ◼ ◼ STFTは窓長固定 WTは相似性を固定 CWTは冗長な表現である ◼ 隆線抽出法 40

連続ウェーブレット変換の応用事例 41

目次 概要 ◼ ◼ ◼ ウェーブレット変換の基本的なアイディア 時間－周波数解析 2次元（画像）のウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換 ◼ ◼ ◼ 歴史 変換と逆変換 具体例 フーリエ変換との比較 ◼ ◼ 畳み込み・相互相関・内積と周波数特性 窓付きフーリエ変換とウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換の応用事例 離散ウェーブレット変換の概要 ◼ ◼ 冗長性の排除と直交変換 多重解像度解析 まとめと展望 42

応用事例(1) ー 心電 43

応用事例(2) ー 建材の共振特性 44

応用事例(3) ー 耳音響放射 Cochlear maturation and otoacoustic emissions in preterm infants: a time-frequency approach Tognola G et al. (2005). Hearing Res. 199: 71-80 45

応用事例(4) ー 聴覚末梢モデル 初期聴覚はフーリエ分析器とみなすよりも，ウェーブレット分析器と見 なしたほうが自然である ◼ ◼ PattersonのGammatoneモデル IrinoのGammachirpモデル 46

離散ウェーブレット変換の概要 47

目次 概要 ◼ ◼ ◼ ウェーブレット変換の基本的なアイディア 時間－周波数解析 2次元（画像）のウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換 ◼ ◼ ◼ 歴史 変換と逆変換 具体例 フーリエ変換との比較 ◼ ◼ 畳み込み・相互相関・内積と周波数特性 窓付きフーリエ変換とウェーブレット変換 連続ウェーブレット変換の応用事例 離散ウェーブレット変換の概要 ◼ ◼ 冗長性の排除とウェーブレットの離散化 直交変換 まとめと展望 48

冗長性の排除とDWT CWTは冗長であった ◼ ◼ ◼ 変換パラメタ（スケールとシフト）が連続値 スケールおよびシフトの両面でウェーブレットの特性が重なり合っていた。 変換パラメタが離散値，対象の信号は連続時間（≒フーリエ級数展開） 離散ウェーブレット変換（DWT）へ ◼ ◼ 冗長性が低く（あるいは無く）効率的な符号化が可能 伝送，圧縮，画像処理などに頻出 実用的なDWTを実現する三つのトピック ◼ ◼ 重なりを減らすには？ → 2進離散ウェーブレット パラメタを離散化しつつ，情報を完全に保存するには？ → 直交変換 49

2進離散ウェーブレットの導入 パラメタを離散化 2のべき乗でスケールが変わ るウェーブレット ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ ◼  j ,k (t ) = 2 j / 2 (2 j t − k ) マザーウェーブレットψ(t) スケールパラメタ: j シフトパラメタ: k 共に整数 jが大→縮まる kが大→遅延する  a ,b(t ) = a=2 −j 1 t −b    a  a  b= k = 2jk a 50

離散ウェーブレット変換 変換パラメタは離散だが，扱う信号は連続である． ◼ あえて「連続時間ウェーブレット級数展開」というべきかも知れない 51

直交変換 パラメタを離散化しつつ，情報を完全に保存するには，どんなウェーブ レットがよいのか？→直交変換（展開）を導入 直交変換とは… ◼ ◼ ◼ ◼ 変換の過程での冗長性を排除し，また完全な再構成を可能にする。 すなわち，信号の情報全体は繰り返されず一回ずつ符号化される。 変換する基底（basis）が直交している（orthogonal）。 さらに基底のノルムが1だと正規直交基底（orthonomal basis） y (2, 3) (1, 2) q p eq ey ey ex x ep ex 52

直交ウェーブレットである条件 正規直交であるための条件   j ,k , l ,m 1 =  0 ( j = l , k = m) ( j  l , k  m) L2(R)上の任意の関数f(t)に対して展開するdj,kが存在する そんなウェーブレットはあるのか？ ◼ ◼ ◼ ◼ ハールウェーブレットは直交ウェーブレットであるになる 直交でかつ滑らかウェーブレットは「奇跡的に偶然的に」発見された（Mayer） 後に多重解像度解析理論によって，数学的に整備され，任意に作れるように なった。 実践的には誰かが考えたものを利用すればいい。 53

例）直交ハールウェーブレット 直交符号（Walsh code） ウォルシュ・アダマール変換 54

直交ハールウェーブレットによるDWT 55

JPEGとウェーブレット 現行のJPEGは離散コサイ ン変換（DCT） 現行JPEG JPEG-2000 JPEG-2000では離散ウェー ブレット変換（DWT） 現行のJPEGは圧縮率を高 めた際にブロック歪が発生し やすい。これは，画像を複数 のブロック（現行JPEGは 8×8ピクセル）に分けて DCTを行うため ウェーブレット変換はブロッ ク単位ではなく画面全体に 対して処理．ブロック歪は生 じない。 56

DWTのまとめ CWTは冗長性が高いため離散化 ◼ ◼ パラメタの離散化 直交変換の導入 直交ウェーブレット ◼ ◼ 構成方法は本発表では明らかにしていない ハールウェーブレットは直交ウェーブレットであった DWTは通常，2進離散直交ウェーブレット変換のことを指す 紹介していないが非常に重要な事柄 ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ スケーリング関数 多重解像度解析と サブバンド符号化とマラーの高速アルゴリズム シフト不変性とマッチング追跡 画像の圧縮 57

まとめと展望 58

まとめと展望 CWTを中心に，WTを紹介した WTは自然な表現である ◼ ◼ ◼ ◼ 周波数とは繰り返しを記述する尺度である 繰り返すためには長さが必要＝周期．「瞬時周波数」は矛盾する言葉 高い周波数では周期が短くてすむし，低い周波数は長くなる WTは周波数によって時間窓長が変わる→自然 WTは柔軟な表現である ◼ ◼ 解析対象とする信号の形状に合わせてマザーウェーブレットを選択 局在波なので，一部を変えると他が変わる，といったことはない CWTは信号を「観察する」道具である ◼ 冗長な分，少しの違いにロバストな表現．観察に適している． DWTは信号を「簡潔にする」道具である 59