ななめからの最適レギュレータ

ななめからの 最適レギュレータ #つぶやき制御工学

状態方程式で表されるシステム 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 状態フィードバック 𝑢 = −𝐾𝑥 #つぶやき制御工学

最適レギュレータ " 𝐽=. # # 𝑥 𝑄𝑥 + 𝑢 𝑅𝑢 𝑑𝑡 ! 上記、評価関数を最小化する制御入力を 見つける問題の解 解は状態フィードバックで与えられる #つぶやき制御工学

• 1次のシステム • 状態フィードバック • 2次形式評価関数の最小化 これだったら、フィードバックゲイン 自力でもとめらるんでないかな？ #つぶやき制御工学

評価関数 " 𝐽=. $ 𝑄𝑥 + 𝑅𝑢 $ 𝑑𝑡 ! に、状態フィードバック則を代入 " 𝐽=. $ 𝑄𝑥 + 𝑅 −𝐾𝑥 ! #つぶやき制御工学 $ 𝑑𝑡

" 𝐽=. $ $ 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥 𝑑𝑡 ! 𝐽= 𝑄+ $ 𝑅𝐾 " . $ 𝑥 𝑑𝑡 ! 𝑥が分かればの𝐽の最小値問題として解けそう #つぶやき制御工学

状態方程式に状態フィードバックを代入して整理 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑢 = −𝐾𝑥 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵 −𝐾𝑥 𝑥̇ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 #つぶやき制御工学

微分方程式は変数分離で解けるので 𝑥̇ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 𝑥 = 𝐶𝑒 %&'( ) システムの初期値を𝑥! とすると、積分定数が判明 𝑥(0) = 𝑥! ! 𝑥 0 = 𝐶𝑒 = 𝐶 = 𝑥! #つぶやき制御工学

状態フィードバックをかけた応答は初期値応答 𝑥 = 𝑥! 𝑒 %&'( ) 評価関数に代入して整理すると 𝐽 = 𝑄 + 𝑅𝐾 ! # ' " ! = 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥" 𝑥" 𝑒 # !' " #つぶやき制御工学 𝑒 ! $%&' ( ! $%&' ( 𝑑𝑡 𝑑𝑡

積分していくと ! ! # 𝐽 = 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥" ' 𝑒 ! $%&' ( 𝑑𝑡 " ! = 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥" ! ! $%&' ( 𝑒 2(𝐴 − 𝐵𝐾) #つぶやき制御工学 # "

! $%&' ( 𝑒 ! ! 𝐽 = 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥" 2(𝐴 − 𝐵𝐾) −1 ! ! = 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥" 2(𝐴 − 𝐵𝐾) ! 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥" 𝐽=− 2(𝐴 − 𝐵𝐾) #つぶやき制御工学 ! # " 😭 ようやく辿り着いた・・

𝐽を最小にする𝐾を見つけるため 𝐾での微分を0とする𝐾をみつける # 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥$ 𝐽=− 2(𝐴 − 𝐵𝐾) 𝑑𝐽 = 𝑑𝐾 # # 微分 # # 2𝑅𝐾𝑥$ 2(𝐴 − 𝐵𝐾) − 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥$ −2𝐵 − # 4(𝐴 − 𝐵𝐾) #つぶやき制御工学

微分を0とする𝐾をみつける # # # 4𝑅𝐾𝑥$ 𝐴 − 𝐵𝐾 + 2𝐵 𝑄 + 𝑅𝐾 𝑥$ − = 0 4 𝐴 − 𝐵𝐾 # 2𝑅𝐾 𝐴 − 𝐵𝐾 + 𝐵 𝑄 + 𝑅𝐾 𝐾 は初期値に無関係とわかる # 𝑅𝐵𝐾 − 2𝑅𝐴𝐾 − 𝐵𝑄 = 0 𝐾を求める2次方程式が得られた #つぶやき制御工学 # =0

2次方程式を解くと 2𝑅𝐴 ± 4𝑅# 𝐴# + 4𝑅𝐵# 𝑄 𝐾= 2𝑅𝐵 𝑅𝐴 ± 𝑅# 𝐴# + 𝑅𝑄𝐵# = 𝑅𝐵 # # # 𝑅𝐴 + 𝑅 𝐴 + 𝑅𝑄𝐵 = 𝑅𝐵 #つぶやき制御工学

𝐴 𝐾= ± 𝐵 𝐴 𝐵 # 𝑄 + 𝑅 𝐾 > 0なので 𝐴 𝐾= + 𝐵 𝐴 𝐵 # 𝑄 + 𝑅 この式で最適フィードバックゲインが求まります #つぶやき制御工学

不安定なシステム 𝑥̇ = 𝑥 + 𝑢 MATLAB・python-controlの lqrコマンドの結果と一致し めでたしめでたし 𝐴=1 𝐵=1 重みを 𝑄 = 100 𝑅 = 1 最適フィードバックゲインを求めると 𝐴 𝐾= + 𝐵 𝐴 𝐵 # 𝑄 1 + = + 𝑅 1 1 1 # 100 + 1 = 1 + 1 + 100 = 1 + 10.05 = 11.05 #つぶやき制御工学

無制御の初期値応答 最適レギュレータの初期値応答 #つぶやき制御工学