LTIシステムの解と遷移行列

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August 09, 22

スライド概要

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■ドローンやロボットを自作することを通じて制御や関連技術の生涯勉強情報を提供■工学博士■防大航空宇宙→筑波大博士■陸自→対戦車誘導弾等の装備品開発→高専教員→大学教員■ロボットランサー優勝→マイクロマウスニューテクノロジー賞受賞■指導者としてつくばチャレンジバンナム賞→飛行ロボコンマルチコプタ部門1位等々■北海道函館出身

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各ページのテキスト
1.

#2022080915 線形時不変システム の解と遷移行列 #つぶやき制御工学

2.

線形時不変システム Linear Time-Invariant System LTIシステム 時と共に移ろわないシステム #つぶやき制御工学

3.

LTIシステムの例 • 燃料の減らないロケットや飛行機 • 経年劣化しない軸受を持つ機械 • 温度で性質が変化しない電子回路 • 高度で空気密度が変わらない大気中を 飛ぶ飛行機 こんな風な事が、短時間や局所的に見れば許される世界はLTIとしてみると嬉 しい場合がたくさんあるし、割とそれでなんとかなる #つぶやき制御工学

4.

LTIシステムは微分方程式を用いて 状態方程式と観測方程式で表します 状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕) 観測方程式 𝑦 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕) #つぶやき制御工学

5.

状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕) 観測方程式 𝒚 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕) 𝐴や𝐵, 𝐶, 𝐷が時不変な場合がLTIシステムです #つぶやき制御工学

6.

状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 の解は次の様になります 𝒙 = 𝜱 𝑡 𝒙 𝑡! + 𝜱(𝑡) " ∫" 𝜱 ! 𝑡 − 𝜏 𝑩𝒖 𝜏 𝑑𝜏 を遷移行列 と呼びます 𝑢(𝑡)が任意なので、解というのには異論があるかも・・・ #つぶやき制御工学

7.

遷移行列は !" 𝜱(𝑡) = ℒ 𝑨$ =𝑒 𝑠𝑰 − 𝑨 行列指数となり、指数法則が適用できます #つぶやき制御工学 !"

8.

結論は分かりましたので ゆっくりと、解いていきましょう #つぶやき制御工学

9.

状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 をラプラス変換します 𝑠𝑿 − 𝒙! = 𝑨𝑿 + 𝑩𝑼 #つぶやき制御工学

10.

𝑠𝑿 − 𝑨𝑿 = 𝒙! + 𝑩𝑼 整理・・・ 𝑠𝑰 − 𝑨 𝑿 = 𝒙! + 𝑩𝑼 整理・・・ 𝑿 = 𝑠𝑰 − 𝑨 !" 𝒙 # + 𝑠𝑰 − 𝑨 ここで、逆ラプラス変換をします #つぶやき制御工学 !" 𝑩𝑼

11.

ここで、以下の逆ラプラス変換の結果を 𝜱(𝑡) = ℒ 𝑠𝑰 − 𝑨 𝑨" =𝑒 #$ とします 𝜱(𝑡) を遷移行列と呼ぶんでした この謎の遷移行列は後で見ますよ・・・ #つぶやき制御工学

12.

さらに、さらに 復習 畳み込みの逆ラプラス変換 ℒ #$ 𝐻 𝑠 𝑈(𝑠) = " ∫" ℎ ! 𝑡 − 𝜏 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 を用いますと(色んな知識が入りますね(T̲T) ) #つぶやき制御工学

13.

と言うような知識を総動員すると 𝑿 = 𝑠𝑰 − 𝑨 !" 𝒙 # + 𝑠𝑰 − 𝑨 !" 𝑩𝑼 の逆ラプラス変換は 𝒙 = 𝜱 𝑡 𝒙# + $ ∫$ 𝜱 & 𝑡 − 𝜏 𝑩𝒖 𝜏 𝑑𝜏 めでたく、LTIシステムの解が求まりました。 #つぶやき制御工学

14.

最後は、 遷移行列は怖く無い というお話 #つぶやき制御工学

15.

遷移行列は !" 𝜱(𝑡) = ℒ 𝑨$ =𝑒 𝑠𝑰 − 𝑨 !" ここに戻ると正体がわかる! #つぶやき制御工学

16.

具体例で示します 0 1 とすると 𝑨 = −2 −3 𝑠 −1 となり 𝒔𝑰 − 𝑨 = 2 𝑠+3 𝒔𝑰 − 𝑨 "𝟏 1 𝑠+3 1 = (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) −2 𝑠 #つぶやき制御工学

17.

𝒔𝑰 − 𝑨 !𝟏 𝑠+3 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) = −2 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 1 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑠 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) となり、部分分数展開すると 2 1 1 1 − − 𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑠 + 2 = −2 2 −1 2 + + 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+1 𝑠+2 #つぶやき制御工学 となる

18.

ということで、逆ラプラス変換すると ℒ !# 𝑠𝑰 − 𝑨 !# !$ !%$ 2𝑒 − 𝑒 = !$ !%$ −2𝑒 + 2𝑒 !$ !%$ 𝑒 −𝑒 !$ !%$ −𝑒 + 2𝑒 が得られ、遷移行列が求められた !$ !%$ 2𝑒 − 𝑒 𝜱(𝑡) = !$ !%$ −2𝑒 + 2𝑒 𝑒 !$ − 𝑒 !%$ !$ !%$ −𝑒 + 2𝑒 ということで、遷移行列は計算でちゃんと 求められます。大変だけど・・・ #つぶやき制御工学

19.

遷移行列の性質 (1) 𝜱 0 = 𝑒 𝑨" =𝐼 (2) 𝜱 𝑡# + 𝑡$ = 𝜱 𝑡# 𝜱 𝑡$ = 𝑒 )# (3) 𝜱 𝑡 = 𝜱 −𝑡 (4) 𝜱̇ 𝑡 = 𝑨𝑒 𝑨& = 𝑒 𝑨& 𝑨 #つぶやき制御工学 𝑨(&& '&' )