LTIシステムの解と遷移行列

＃2022080915 線形時不変システム の解と遷移行列 #つぶやき制御工学

線形時不変システム Linear Time-Invariant System LTIシステム 時と共に移ろわないシステム #つぶやき制御工学

LTIシステムの例 • 燃料の減らないロケットや飛行機 • 経年劣化しない軸受を持つ機械 • 温度で性質が変化しない電子回路 • 高度で空気密度が変わらない大気中を 飛ぶ飛行機 こんな風な事が、短時間や局所的に見れば許される世界はLTIとしてみると嬉 しい場合がたくさんあるし、割とそれでなんとかなる #つぶやき制御工学

LTIシステムは微分方程式を用いて 状態方程式と観測方程式で表します 状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕) 観測方程式 𝑦 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕) #つぶやき制御工学

状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕) 観測方程式 𝒚 = 𝑪𝒙 𝒕 + 𝑫𝒖(𝒕) 𝐴や𝐵, 𝐶, 𝐷が時不変な場合がLTIシステムです #つぶやき制御工学

状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 の解は次の様になります 𝒙 = 𝜱 𝑡 𝒙 𝑡! + 𝜱(𝑡) " ∫" 𝜱 ! 𝑡 − 𝜏 𝑩𝒖 𝜏 𝑑𝜏 を遷移行列 と呼びます 𝑢(𝑡)が任意なので、解というのには異論があるかも・・・ #つぶやき制御工学

遷移行列は !" 𝜱(𝑡) = ℒ 𝑨$ =𝑒 𝑠𝑰 − 𝑨 行列指数となり、指数法則が適用できます #つぶやき制御工学 !"

結論は分かりましたので ゆっくりと、解いていきましょう #つぶやき制御工学

状態方程式 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 をラプラス変換します 𝑠𝑿 − 𝒙! = 𝑨𝑿 + 𝑩𝑼 #つぶやき制御工学

𝑠𝑿 − 𝑨𝑿 = 𝒙! + 𝑩𝑼 整理・・・ 𝑠𝑰 − 𝑨 𝑿 = 𝒙! + 𝑩𝑼 整理・・・ 𝑿 = 𝑠𝑰 − 𝑨 !" 𝒙 # + 𝑠𝑰 − 𝑨 ここで、逆ラプラス変換をします #つぶやき制御工学 !" 𝑩𝑼

ここで、以下の逆ラプラス変換の結果を 𝜱(𝑡) = ℒ 𝑠𝑰 − 𝑨 𝑨" =𝑒 #$ とします 𝜱(𝑡) を遷移行列と呼ぶんでした この謎の遷移行列は後で見ますよ・・・ #つぶやき制御工学

さらに、さらに 復習 畳み込みの逆ラプラス変換 ℒ #$ 𝐻 𝑠 𝑈(𝑠) = " ∫" ℎ ! 𝑡 − 𝜏 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 を用いますと（色んな知識が入りますね（T̲T) ） #つぶやき制御工学

と言うような知識を総動員すると 𝑿 = 𝑠𝑰 − 𝑨 !" 𝒙 # + 𝑠𝑰 − 𝑨 !" 𝑩𝑼 の逆ラプラス変換は 𝒙 = 𝜱 𝑡 𝒙# + $ ∫$ 𝜱 & 𝑡 − 𝜏 𝑩𝒖 𝜏 𝑑𝜏 めでたく、LTIシステムの解が求まりました。 #つぶやき制御工学

最後は、 遷移行列は怖く無い というお話 #つぶやき制御工学

遷移行列は !" 𝜱(𝑡) = ℒ 𝑨$ =𝑒 𝑠𝑰 − 𝑨 !" ここに戻ると正体がわかる！ #つぶやき制御工学

具体例で示します 0 1 とすると 𝑨 = −2 −3 𝑠 −1 となり 𝒔𝑰 − 𝑨 = 2 𝑠+3 𝒔𝑰 − 𝑨 "𝟏 1 𝑠+3 1 = (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) −2 𝑠 #つぶやき制御工学

𝒔𝑰 − 𝑨 !𝟏 𝑠+3 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) = −2 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 1 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑠 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2) となり、部分分数展開すると 2 1 1 1 − − 𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑠 + 2 = −2 2 −1 2 + + 𝑠+1 𝑠+2 𝑠+1 𝑠+2 #つぶやき制御工学 となる

ということで、逆ラプラス変換すると ℒ !# 𝑠𝑰 − 𝑨 !# !$ !%$ 2𝑒 − 𝑒 = !$ !%$ −2𝑒 + 2𝑒 !$ !%$ 𝑒 −𝑒 !$ !%$ −𝑒 + 2𝑒 が得られ、遷移行列が求められた !$ !%$ 2𝑒 − 𝑒 𝜱(𝑡) = !$ !%$ −2𝑒 + 2𝑒 𝑒 !$ − 𝑒 !%$ !$ !%$ −𝑒 + 2𝑒 ということで、遷移行列は計算でちゃんと 求められます。大変だけど・・・ #つぶやき制御工学

遷移行列の性質 (1) 𝜱 0 = 𝑒 𝑨" =𝐼 (2) 𝜱 𝑡# + 𝑡$ = 𝜱 𝑡# 𝜱 𝑡$ = 𝑒 )# (3) 𝜱 𝑡 = 𝜱 −𝑡 (4) 𝜱̇ 𝑡 = 𝑨𝑒 𝑨& = 𝑒 𝑨& 𝑨 #つぶやき制御工学 𝑨(&& '&' )