経営統計_06_確率変数と確率分布

経営統計 06 確率変数と確率分布 分寺 杏介 神戸大学 経営学部  [email protected] ※本スライドは，クリエイティブ・コモンズ 表示-非営利 4.0 国際 ライセンス（CC BY-NC 4.0）に従って利用が可能です。

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前回のおさらい 1 サンプルサイズ 母集団からランダムな 𝑛 個のデータが得られた sample size 標本 データ A 1 ID B 性別 C D 身長 E 体重 平均勉強時間： ？ テストの得点 2 1 男 172 70 3.0 91 3 2 女 158 47 0.8 31 4 3 女 160 54 4.0 34 5 4 男 178 69 3.8 51 6 5 女 153 42 1.9 87 7 6 男 169 80 1.9 39 8 7 男 165 70 2.1 48 9 8 女 155 42 0.8 73 10 9 男 159 63 2.4 62 11 10 女 148 40 1.7 34 12 11 女 147 42 1.6 84 2 母集団 F 勉強時間 母集団の平均勉強時間の真の値はわからないものなので 手元のデータから推測するのです 時間 平均勉強時間：2.5時間 得られたデータで 標本統計量を計算する 母数 parameter 3 標本統計量をもとに 母集団の値を推測する 06 確率変数と確率分布 母集団の平均勉強時間 （ に当てはまる値）はだいたい 2.3～2.7時間くらいでしょう 2

前回のおさらい 2 1 母集団の分布を なにか仮定する 出現しうる標本の パターンが分かる 3 各標本で平均値 などを計算する 標本の平均値 170.4 母集団分布 169.3 population distribution 4 標本の平均値の 分布を作れる ︙ ︙ ︙ ︙ 171.4 172.3 300万人だったら 標本分布 sampling distribution つまり「母集団分布が決まると，標本の統計量が とる値の分布：標本分布も一つに決まる」ということです だいたい10490通りくらい 06 確率変数と確率分布 3

前回のおさらい ヒストグラムはデータの分布なので それができるなら苦労してないって ▶ 母集団のすべての値がわからないとヒストグラムは描けない そしてヒストグラムは細かすぎる 分布の形を説明するのが難しい ▶「こういうときはこうなる」と一言でいえない 母集団分布 標本分布 140-141の高さが0.02で， 141-142の高さが0.024で， 164-164.1の高さが0.02で， 164.1-164.2の高さが0.023で， …（以下略） …（以下略） ヒストグラムとよく似た何かを使って母集団分布を仮定しよう ヒストグラム よく似た形の線 a.k.a. 確率分布 かわりに ということで今回は「確率」のお話です 06 確率変数と確率分布 4

「確率」ってなんだっけ Wikipedia より 確率（かくりつ，英: probability）とは，偶然起こる現象に対する頻度（起こりやすさの指標）のことである。 を振ったときの出目は毎回わからない ▶ ある目が出るという現象は偶然起こる 出目についての説明変数が存在しない，ともいえる 出目の「頻度」は？ 10回振ってみたら もちろんやるたびに変わります ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ 頻度 1 2 2 3 2 0 割合 1/10 2/10 2/10 3/10 2/10 0/10 割合3/10で⚃が出た 06 確率変数と確率分布 この段階では ご存知1/6とは異なる値になっている 5

さいころを振りまくれ 1000回振ってみたら もちろんやるたびに変わります ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ 頻度 162 184 154 166 162 172 割合 0.162 0.184 0.154 0.166 0.162 0.172 回数を増やすと ご存知 / = . …に近い値になっていく 割合166/1000で⚃が出た ∞回振ってみたら 極限をとる，ということです ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ 回数 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 確率1/6で⚃が出た 06 確率変数と確率分布 無限に試行したとすれば ご存知 / = . …に収束する これからお話する（頻度主義）統計学の世界では 「頻度」の極限が確率 6

確率分布って？ probability distribution ↓これのことです。 値 確率 ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 どんな値がどんな確率で発生するかをまとめたもの 確率の基本 コルモゴロフの公理系と呼ばれます 1. ある事象が起こる確率は0から1の値 2. 何かしらの事象が起こる確率は1 合計が1という意味です 3. いくつかの互いに排反な事象のうちいずれかが起こる確率は， 各事象が起こる確率の和に等しい さいころを振ったときに「1かつ2」が出ることはありえない ▶ 「1か2が出る確率」は「1が出る確率」＋「2が出る確率」 06 確率変数と確率分布 7

確率変数 random variable ちょっと硬い言い回しになりますが慣れてください 「変数」＝「変わりうるもの」または「未知のもの」 1次関数 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1 変数 𝑥 に入る値は特に決まっていない（何が入っても良い） 変数 𝑥 についての関数 「さいころを振ったときに出る目」 変数 𝑥 に入る値はまだ決まっていない（何が入るかわからない） 「確率変数」 ▶ 観測される値が確率的に決定する変数のこと 確率変数 には 「さいころを振ったとき に出る目」 値 確率 ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ 1/6 1/6 1/6 1/6 06 確率変数と確率分布 1/6 1/6 という値が という確率で観測される 8

ここまでを整理 ＆ 記号の導入 確率＝ランダムな現象について特定の値が出る頻度（割合） 𝑥 という事象が起こる確率を 𝑃(𝑥) と表します 確率変数＝実際に観測される値が確率的に決まる変数 確率変数は大文字を使って 𝑋 と表します 例 さいころの出目 (𝑋) 値 ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ 確率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 𝑥 1 2 3 4 5 6 𝑃(𝑋 = 𝑥) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 06 確率変数と確率分布 1/6 これは確率分布 𝑃 𝑋=1 =𝑃 𝑋=2 =⋯= 1 6 9

改めてデータについて考える 本当はデータの背後には複雑なメカニズムがある （ ）な 背後には色々な要因があり （ ）な 「ばらつき（分 「個 「ばらつき（分 （ ）」で考えるのか？ ）な 「ばらつき（分 は 個 の （ 国 の の い い の の い 生 の い の い の い 個 さん のある い い きな べ が き の までの （ばらつきが生じる） 人間の平均 の 」があるならば ての要因が えるのでし う ー ン ーム） の い 実際にはこんなに ン ルでは いですが，イメー として考えてみます のばらつき 「 に関 をも が 値が決まる ）」で考えるのか？ ン ルに考えてみる 」の要因はさま ま かく分 すると ）」で考えるのか？ それらが影響することで 基本的に 資料04 あまり しない . きな べ の い 回 分 ただし全ての要因を知ることはできない 回 分 どのように影響を与えるかもわからない ・ 生 ・ の など あら る要 に関 なく が 回 分 06 確率変数と確率分布 に関 しているのか？ 10

ええい，ままよ！ 部ひっくるめて「 のおぼしめし」とでもしよう （ ）な 背後には色々な要因があり （ ）な 「ばらつき（分 「個 基本的に （ あなたの体重は ）な 「ばらつき（分 国 の の い い の の い 生 の の い さん きな べ い の い の い のある 59.7 58.2 52.3 75.8 49.9 54.1 が き の までの 個 実際にはこんなに ン ルでは いですが，イメー として考えてみます 完全ランダムに い い 個 人間の平均 の 」があるならば ての要因が えるのでし う ー ン ーム） の に関 をも が ボタンを押すと のばらつき （ は ）」で考えるのか？ ン ルに考えてみる 」の要因はさま ま 「 ）」で考えるのか？ それらが影響することで ）」で考えるのか？ かく分 すると 「ばらつき（分 あまり しない 値が決定するマシンがある . きな べ の い ****** kg です 回 分 ただし全ての要因を知ることはできない …と考えてみる 回 分 どのように影響を与えるかもわからない このマ ンが「どんな確率でどんな値を出すか」 ＝母集団の確率分布（母集団分布） ・ 生 ・ の など あら る要 に関 なく が 回 分 06 確率変数と確率分布 に関 しているのか？ 11

データを「確率変数」とみなす 一つ一つのデータは確率変数の実現値 母集団 𝑥 3 ◀ 家族の人数 (𝑋) 一つ一つの値が ∞人のデータから 3 完全ランダムに 4 1人選んだら 5 4 3 3 6 ▶ ランダムに一つ抽出したときの確率も （∞） と同じ 母集団の確率分布に従って実際の値が決まる 𝑥 1 2 3 4 5 6 … 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0.002 0.03 0.45 0.32 0.14 0.05 … ∞面 のさいころを振って 出た目に対応する人の値を取り出すと データを確率変数として考えることで 確率論に基づいて統計的推測ができる 2 ︙ に沿って確率的に決まる 例 【統計的仮説検定】 母集団分布が◯◯のときに身長の標本平均が■■以上になる確率は▲▲％ →母集団分布が◯◯とは考えにくい！ 06 確率変数と確率分布 12

変数の種類 的変数は，これらとはまた別の形で確率変数として われるのですが，この授業では取り上げません。 タイ によって確率変数としての扱い方が変わります 資料01 p. 35 変数と 変数 変数 変数 数も 数もとりうる 的変数 数しかとらない 的変数 クラスの人数 かい値はとらない 無限に かくできる 身長 では「 」のように 数 までしか 表 されないが，これは の 度の 。 もし な身長計なら無限に かく れるはず 取りうる値の数が の分 では い変数については， 変数として うことも 分 さ い 学で「 変数」のまま われる事が 「回数」や「 数」な の ト の かも いのは データの ま は簡単な方から ていきまし う 06 確率変数と確率分布 13

確率変数 取りうる値が整数のみの確率変数 例 家族の人数 (𝑋) 𝑥 1 2 3 4 5 6 … 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0.002 0.03 0.45 0.32 0.14 0.05 … 変数との対比のために，無理やり図に表してみると ど らも 確率分布 . . . . . . … 変数的な見方をすると 整数以外が出る確率は0 ということになる 06 確率変数と確率分布 14

確率変数の期待値と分 期待値＝平均値 例 （10人分） データから完 ランダムに一人取り出したときの期待値 データにおける家族の人数の平均値は？ 𝑥 3 3 4 3 1 3+3+4+3+4+4+5+3+2+3 10 同 値をまとめると 1 2×1 + 3×5 + 4×3 + 5×1 10 4 3 2 3 1 2 3 4 5 6 … 度数 0 1 5 3 1 0 … 𝑥 1 2 3 4 5 6 … 𝑓𝑥 0 1/10 5/10 3/10 1/10 0 … 先に割合になおすと 4 5 𝑥 2× 1 5 3 1 + 3× + 4× + 5× 10 10 10 10 シグマ記号でまとめると 𝑓𝑥 はデータ全 のうち X = 𝑥 の人の割合 𝑓𝑥 𝑥ҧ = ෍ 𝑥 × 𝑛 𝑥∈𝑋 06 確率変数と確率分布 15

確率変数の期待値と分 例 （10人分） データにおける家族の人数の分 は？ 𝑥 3 𝑥 の代わりに 𝑥 − 𝑥ҧ 2 の平均値をとれば分 になる 3 𝑥 4 𝑥 − 𝑥ҧ 3 𝑓𝑥 1 2 2 4 0 1/10 1.96 × 5/10 3/10 6 … 1/10 0 … 𝑓𝑥 はデータ全 のうち X = 𝑥 の人の割合 1 5 3 1 + 0.16 × + 0.36 × + 2.56 × 10 10 10 10 5 シグマ記号でまとめると 3 平均値 ▶ 5 5.76 1.96 0.16 0.36 2.56 6.76 … 4 4 3 2 𝑣𝑥 = ෍ 𝑥 − 𝑥ҧ 3 𝑥∈𝑋 2 𝑓𝑥 × 𝑛 3.4 06 確率変数と確率分布 16

確率変数の期待値と分 期待値＝平均値 例 母集団から完 ランダムに一人取り出したときの期待値 母集団における家族の人数の平均値は？ 1 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) 0.002 2 0.03 3 0.45 . 4 5 0.32 0.14 6 … 0.05 … 同 ように考えたら 𝐸 𝑋 = ෍ 𝑥 × 𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝑥∈𝑋 . . . . 全事象について，値と確率の積を足しあげる . ▲ 確率変数では，期待値を𝐸[𝑋] と表します Expected value 分 例 母集団における家族の人数の分 は？ 同 ように考えたら 𝑉 𝑋 =𝐸 𝑥−𝜇 2 = ෍ 𝑥−𝜇 2 × 𝑃(𝑋 = 𝑥) 母平均 𝜇 との偏差の二乗の期待値 𝑥∈𝑋 ▲ 確率変数では，分 をV[𝑋] と表します Variance 06 確率変数と確率分布 17

変数の種類 的変数は，これらとはまた別の形で確率変数として われるのですが，この授業では取り上げません。 タイ によって確率変数としての扱い方が変わります 資料01 p. 35 変数と 変数 変数 変数 数も 数もとりうる 的変数 数しかとらない 的変数 クラスの人数 かい値はとらない 無限に かくできる 身長 では「 」のように 数 までしか 表 されないが，これは の 度の 。 もし な身長計なら無限に かく れるはず 取りうる値の数が の分 では い変数については， 変数として うことも 分 さ い 学で「 変数」のまま われる事が 「回数」や「 数」な の ト の かも いのは データの いて複雑な方を ていきまし う 06 確率変数と確率分布 18

確率変数 整数以外もとりうる確率変数 例 (𝑋) 𝑥 ･･･ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ・・・ 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) 169.8 169.9 170.0 170.1 170.2 ？ ？ 169.75 169.76 ・・・ ？ … ？ ？ ？ … 169.80 169.81 ・・・ 169.795 169.796 ・・・ ？ … ・・・ ？ … ？ … 169.84 ・・・ … 169.800 169.801 ？ ？ … 169.804 ・・・ … 最終的には 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 0 になってしまう 06 確率変数と確率分布 19

変数における「確率」？ つまりこのような母集団から一人ラ ダムに選んで身長を ▶ も ろんゼロ ゼロにしないと「全部足したら1」を満たせなくなる じゃあ確率分布が表している値は何なのさ . . ？ . . っと考え方を変えてみます 問 したとき . か 右のような確率分布からランダムに一つ値を取り出したとき， その値がちょうど170になる確率は？ （厳密に書けば） . …になる確率は？ 確率ではない 問 確率分布 右のような確率分布からランダムに一つ値を取り出したとき， その値が170から180の間になる確率は？ ▶ これならゼロじゃない 確率を「区間」で 考えていきます 06 確率変数と確率分布 20

確率を区間でとらえる 変数の確率分布は区間で確率を表したものである 右のような確率分布からランダムに一つ値を取り出したとき， その値が170から180の間になる確率は？ 問 右のような確率分布からランダムに一つ値を取り出したとき， その値が0から500の間になる確率は？ ▶ 計算せ ともほぼ100% ▶ およそ35.0% か . 確率ではない か 確率変数 𝑋 が身長なら . . 確率ではない 問 . . . . . . . この赤い部分が この赤い部分が 35.0%を表している 100%を表している 06 確率変数と確率分布 21

確率は面積だ 確率の基本2 ＝ すべての p. 7 象の確率を合計すると1 (=100%)になる 確率ではない か . . すべての値の出現確率を合計すると1になる . ＝ この赤い部分の面積が1になると考える . …すると確率分布の高さはどうなる？ . 確率ではない か . とりあえず かいことを無視して三角形で近似すると 底辺の長さ50 (145から195) くらいで割と近い形になるので . . 50 × . 高さ ÷2=1 50 高さ は 0.04 くらい にはこの面積を うために積分を使います . 06 確率変数と確率分布 22

結局その「高さ」ってのは何なんだ . p. 20 で見たように . 「ちょう …が出る確率が0.04」ということではない Probability density ▶ 「確率」ではなく 「確率密度」 と呼ぶことにします . 0.04 . 具 的に何を表しているのか，と言われると 面積の合計が1になるようにいい感じに調整された値としか言えません . 「確率」とは うので1を超えても問題ない 確率密度 確率ではない か とりあえ 「確率」そのものではないことは確か ◀ 𝑥 の値を1/100（cm→m）に変換した場合 . . . . . . . . 確率密度の最 はもとの100倍＝4くらいになります 06 確率変数と確率分布 23

確率変数の期待値と分 期待値＝平均値 例 母集団における 母集団から完 の平均値は？ 積分しまし う いい感じの高さの 方形で近似する 10ごとに区切る . . . . . . 確率密度 . 確率密度 確率密度 確率分布 ランダムに一人取り出したときの期待値 . . . . . . . . 方形の和が 明らかに1にならない ▼ 高さを調整します 06 確率変数と確率分布 24

確率変数の期待値と分 期待値＝平均値 例 母集団における 母集団から完 ランダムに一人取り出したときの期待値 の平均値は？ 積分しまし う 確率密度 . . . が になるように . 「確率」にするため 和が1になるように 高さを調整 . ヒストグラムからなら 平均値は計算しやすい 区間内の値を 𝑥 -140 -150 -160 -170 -180 -190 -200 中央値 135 145 155 165 175 185 195 𝑃(𝑋) 0.003 0.020 0.128 0.331 0.368 0.014 0.001 て「中央値」に置き換えて平均をとればよい 135 × 0.003 + 145 + 0.020 + ⋯ + (195 × 0.001) 06 確率変数と確率分布 25

確率変数の期待値と分 期待値＝平均値 例 母集団における 母集団から完 ランダムに一人取り出したときの期待値 の平均値は？ 区切り幅10 積分しまし う 区切り幅5 区切り幅1 . が になるように が になるように が になるように . . . . . . . . . 区切り幅を小さくするほど もとの確率分布に近づく 06 確率変数と確率分布 26

確率変数の期待値と分 期待値＝平均値 例 母集団における 区切り幅 限小 母集団から完 ランダムに一人取り出したときの期待値 の平均値は？ 積分しまし う ※確率を 𝑃(𝑋 = 𝑥) で表したように確率密度は 𝑓(𝑋 = 𝑥) で表す . 確率変数の期待値を 𝐸 𝑋 = ෍ 𝑥𝑃(𝑋 = 𝑥) で表したように . 𝑥∈𝑋 ∞ . . 確率変数の期待値を 𝐸 𝑋 = න 𝑥𝑓 𝑋 = 𝑥 𝑑𝑥 で表す . −∞ つまり基本的な考え方は同 ▶ 値と頻度（確率・確率密度）の積を 分 象について足し合わせる ∞ 同 ように考えたら 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑥 − 𝜇 2 = න 𝑥 − 𝜇 2 𝑓 𝑋 = 𝑥 𝑑𝑥 −∞ 06 確率変数と確率分布 母平均 𝜇 との偏差の二乗の期待値 27

いったん話を戻すと 統計的推測に 要な情報は母集団分布と標本分布の関 資料05 p. 23 母集団分布が○○の場合 標本分布は△△になる . . 母集団分布 . . . . . . . . 資料05 pp. 26-27 ？ 標本分布 標本的には標本分布が△△だと最もしっくり来るので 母集団分布は○○と考えるのが妥当だろう 06 確率変数と確率分布 28

母集団分布は何でもいいのか？ 母集団分布の可能 資料05 p. 23 は 限大 母集団分布が○○の場合 標本分布は△△になる . 母集団分布 . この○○をどうやって説明する？ . . . x=150では0.004で，x=151では0.006で，… ▶ 確率変数ですらほぼ 理 関数による表現を考えます 06 確率変数と確率分布 29

関数：簡単な 高 で った（は の）二次関数 x=0では-3で，x=1では0で，x=2では5で… 説明 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 すべての線はどうにかして 関数によって表すことができる 06 確率変数と確率分布 30

母集団分布も関数で表してみる とはいえ▼のような形を簡単な関数では表せないだろう . . . . ちっちゃい事は 気にするな . . . . . . 一応フーリエ級数展開を使えば これも関数として表せると思いますが 複雑すぎて いにくくなってしまいます 𝑥 − 170 2 𝑓 𝑋=𝑥 = exp − 2 2 × 102 2𝜋 × 10 1 扱いやすい関数の形で 近似してあげる 06 確率変数と確率分布 31

すべての線は 大きく分けると2つの要 で形が決まっている 𝑓 例｜二次関数 曲線 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐 = (1, 2, −3) 𝑎, 𝑏, 𝑐 = (−0.5, 1, 1) とりあえ 「式中のパラメータの値が変わることでいろんな線が作れる」 ということは最低限理解しておいてください パラメータ 意味 𝑎 曲率 𝑏 置 𝑐 切片 説明 曲がり具合と凸方向を決める 曲線の頂 の 置を動かす 𝑥 = 0 のときの 𝑓(𝑥) の値 大抵の線は以下の2つの情報を組み合わせて作られる 関数形 ▲ 関数形は同 で パラメータが異なる2本の線 線の形状を決めるもの 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 06 確率変数と確率分布 パラメータ 具 的な線を決めるもの (𝑎, 𝑏, 𝑐) 32

さっきの近似曲線も 確率密度 の 関数 なので 大抵の線は以下の2つの情報を組み合わせて作られる Probability density function パラメータ 確率密度関数 具 的な線を決めるもの (𝑎, 𝑏, 𝑐) と呼ばれます 関数形 線の形状を決めるもの 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 【正規分布】 𝜋 は円周率なので パラメータではありません Normal Distribution 例 p. 31の近似曲線は . . 1 𝑥−𝜇 𝑓 𝑥 = exp − 2𝜎 2 2𝜋𝜎 2 2 パラメータ 意味 説明 𝜇 ミュー 平均 分布の平均値 𝜎2 シグマ 分 分布の らばり具合 具 的な関数の式を覚える必要はとりあえずないですが パラメータの意味は必ず覚えてください 06 確率変数と確率分布 . . . 𝜇, 𝜎 2 = 170, 102 𝑥 − 170 2 𝑓 𝑥 = exp − 2 × 102 2𝜋 × 102 1 33

パラメータが変わると . . 平均値 𝜇 が変わると 分布は平行移 する 分 𝜎 2 が変わると 分布の広がりが変わる . . 𝑁(180, 102 ) . . 𝑁(170, 152 ) 𝑁(170, 102 ) . . . . . . 正規分布では パラメータを変えると 様々な左右対称の山が 描ける 06 確率変数と確率分布 . . . 34

関数のメリット：簡単な 高 で った（は の）二次関数 二次関数𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐の場合 −𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐 𝑓 𝑥 = 0になるのは𝑥 = のとき 2𝑎 −𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 同じ関数形ならばどんなパラメータの組でも 成立するような理論を組み立てられるようになる 06 確率変数と確率分布 35

関数のメリット：確率分布でも 関数ベースで考えてあげると 𝑥−𝜇 2 母集団分布が 𝑓 𝑥 = exp − の場合 2𝜎 2 2𝜋𝜎 2 𝜎2 標本平均の標本分布は平均 𝜇，分 になる 𝑛 1 . . . . . . . . . . 詳しくは次回説明します 同じ関数形ならばどんなパラメータの組でも 成立するような理論を組み立てられるようになる 06 確率変数と確率分布 36

母集団分布と標本分布がつながった 矢印をひっくり返せば p. 28 𝑥−𝜇 2 母集団分布が 𝑓 𝑥 = exp − の場合 2𝜎 2 2𝜋𝜎 2 𝜎2 標本平均の標本分布は平均 𝜇，分 になる 𝑛 1 . . . . . . . . . . 詳しくは次回説明します 標本的には標本分布の平均値 𝜇 が170だと最もしっくり来るので 母集団分布の平均値 𝜇 は170と考えるのが妥当だろう 06 確率変数と確率分布 37

確率分布を関数で表そう …といってもなんでもいいわけじゃない 二次関数 確率のルール（公理）を満たしている 要がある ▶ 負の値をとらない関数でないといけない それなりに ン ルである ▶ パラメータの数はせい ▶数 「和が1」は さを適当に調 した ら良いので気にしなくてOKです 要がある い2, 3個にしておきたい 的に扱いやすい関数でないといけない 複雑な関数 . . . . . そもそも確率分布は何かしらの現象を表したもの ▶ 実質的な意味を持った関数でないといけない そんな関数はそこまで多くない（と言われている） 06 確率変数と確率分布 次回は「そんな関数」の を ます 38