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title: 【連合講演会2026】リアプノフ方程式の求解に対するデータ・事前知識対の情報性解析
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author: [Ikumi Banno](https://image.docswell.com/user/ibanno)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: 2026/11/07 第69回自動制御連合講演会
published: November 07, 26
canonical: https://image.docswell.com/s/ibanno/Z1QNG7-rengo69
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リアプノフ方程式の求解に対する
データ・事前知識対の情報性解析
京都大学
坂野 幾海
2026/11/07 第69回自動制御連合講演会 (1B2-6)
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背景：データ駆動型制御
データ情報性 [van Waarde, 2020]
• 『データセットが，所与の解析/設計を行うために
十分な情報量を持っているか』を表す概念
入力𝑢
状態𝑥
𝑡
𝑡
このデータで安定性判別
は原理的に可能か？
システムの計測データ
• 多くの研究では，システムの事前知識がない場合を仮定
- 一方で，現実の場合は事前知識が利用可能なことも多い
システム事前知識が利用可能な場合
• [Iwata, 2025]： 非負システムであることが既知
• [Huang, 2026]：システムの一部パラメタの厳密値が既知
• パラメタの不等式制約など，一般の場合は扱えない
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研究概要
研究目的
「計測データ＋一般の事前知識」が利用可能なときに，
システム解析が可能となるための条件を明らかにする
- 今回：システムに対応するリアプノフ方程式を解く問題
発表の概要
• 「一般の事前知識」を扱うため，モデル集合を導入する
• データの情報性を「データ・モデル集合の組」に対し一般化
• この概念に基づいて，必要十分条件を導出
今回
従来
状態𝑥
𝑡
データセット
＋
𝑥 𝑡 = 𝑨𝟏 𝑥 𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑨𝟐 𝑥 𝑡 このデータで
データ+モデル集合から
⋮
システム解析可能か？
システム解析可能か？
モデル集合
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問題設定 (1/3)
対象システム
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡
- 𝐴 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 : 未知，安定行列（簡単のための仮定）
- 事前知識として 𝐴 ∈ 𝚺𝐩𝐤
なる集合𝚺𝐩𝐤 が既知
- 𝑥 0 = 𝑥0 に対する状態軌道データ𝓓が利用可能
𝑥(𝑡)
𝓓
𝒟: 𝑥 𝑡, 𝑥0 𝑡 ∈ 0, 𝜏
𝑡
リアプノフ方程式
𝐴𝑷 + 𝑷𝐴⊤ = −𝑄
- 各々の𝑄 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 で，解𝑃 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 は一意 (𝐴が安定の場合)
• この方程式の求解問題は，安定性・可制御性解析に対応
• 一意解𝑃をデータ・事前知識から求める問題を考える
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問題設定 (2/3)
定式化の準備：A行列の候補集合
• データ・事前知識から定まる「𝐴行列の候補」を考えてみる
A行列のクラス全体 (= 𝐑𝒏×𝒏 )
𝐴1
𝚺𝓓
データに無矛盾
なモデル集合
𝐴4
𝐴2
𝐴 (真値)
𝐴6
𝚺𝐩𝐤
𝐴5
𝐴3
事前知識による
モデル集合
(データに無矛盾なモデル集合)
≔ 𝐴: 安定 𝒙 = 𝑨𝑥が𝒙 𝒕, 𝒙𝟎 を解にもつ}
- 通常のシステム同定の一般化 (のようなもの)
• 「𝐴行列の候補」＝
と
の共通部分！
- 「候補」は一般に複数 (gray-box同定不可な場合に対応)
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問題設定 (3/3)
• データ/事前知識からリアプノフ方程式の解は求められるか？
 ダメな例：解候補が無数…
✓ 嬉しい例：解候補が一意！
[定義] 右図の状況が成り立つとき，
「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」と呼ぶ
- データ・事前知識が方程式を解くのに十分な情報量を有すること
[問題] 「(𝒟, 𝚺𝐩𝐤 )が…informative」の必要十分条件を求めよ
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問題の解
• 次式を満たす 𝐴0 , 𝐴1 , … , 𝐴𝑑 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 を考える (常に存在)
(𝚺𝓓 ∩ 𝚺𝐩𝐤 のAffine Hull) = 𝐴0 + span 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑑
データ・事前知識からなる「A行列の候補集合」
定理
「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」
⇔
𝐴0 𝑿 + 𝑿𝐴0⊤ = −𝑄
𝐴𝑖 𝑿 + 𝑿𝐴𝑖⊤ = 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑑)
に解𝑿が存在する
• 𝒅 + 𝟏個の行列方程式系の可解性で特徴づけられる
• 事前知識𝚺𝐩𝐤 がどんな集合であっても使える
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定理のアイデア
• 「informativeである」を数式で表すと：
∃𝑃 ∈ 𝐑𝑛×𝑛 such that
𝐴𝑃 + 𝑃𝐴⊤ = −𝑄
𝐴6 𝑃 + 𝑃𝐴⊤6 = −𝑄
⋮
⇔
・
⋯ ∗
⋯ 𝚺𝓓 ∪ 𝚺𝐩𝐤 の要素
・一般に無限個の方程式
𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑑
• (𝚺𝓓 ∩ 𝚺𝐩𝐤 のAffine Hull) = 𝐴0 + span
あ
より，
𝑑
= 𝐴0 +
𝑐𝑖 𝐴𝑖
とパラメトライズできる
𝑖=1
•
∗ の式に代入・整理すると，定理の行列方程式が得られる
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おわりに
まとめ
• 「計測データ＋一般の事前知識」が利用可能なときに，
リアプノフ方程式の求解が可能となるための条件を導出
- 行列方程式系の可解性で特徴づけられる
- 事前知識𝚺𝐩𝐤 はどのような集合でもよい
• 予稿では，これに加えて：
- 計測データ＋事前情報からリアプノフ方程式の解を求める
- 事前情報が特別な構造を持つ場合
今後の展望
• リアプノフ不等式の求解・安定化制御器設計への発展
• 状態軌道データから入出力データへの拡張
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Appendix
参考スライド
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データ駆動制御とは？
計測データからシステムを解析・設計する
①システム同定による「二段階法」
1.計測データを収集する
入力
出力
𝑡
𝑡
②データ駆動型の手法
2. 計測データから制御対象の
数学モデルを同定
𝑌 𝑠 =𝐺 𝑠 𝑈 𝑠
- 同定不可でも適用可能？
- 同定コスト削減が期待
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥(𝑡)
3. モデルから制御器を設計
• ②の新展開：データ情報性[van Waarde, 2020]に基づくアプローチ
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数値例 (1/2)
対象システム・リアプノフ方程式
• システム：
𝑥 𝑡 =
−1 1
𝑥 𝑡
0 −2
=𝐴
• 事前知識： Σpk = 𝐴 ∈ 𝐑2×2 0 < 𝑎12 < 2, 𝑎22 = −2
• データ：
𝑥 0 = 1 0⊤
• リアプノフ方程式：
問題
𝒟
𝐴𝑷 + 𝑷𝐴⊤ = −
2 3
−3 0
=𝑄
• いつ「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」？
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数値例 (2/2)
定理から確認する
• 右図を考えると
−1 0
+ span
0 −2
(𝚺𝓓 ∩ 𝚺𝐩𝐤 のAffine Hull) =
= 𝐴0
0 1
0 0
= 𝐴1
• 定理より，informativeであるための必要十分条件は，
𝐴0 𝑿 + 𝑿𝐴0⊤ = −𝑄
𝐴1 𝑿 + 𝑿𝐴1⊤ = 0
に解𝑋が存在すること
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• 行列方程式は解 𝑿 =
1
−1 0
をもつため，
「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」である
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そのほかの成果
リアプノフ方程式の求解
• 定理で導入した行列方程式を考える
𝐴0 𝑿 + 𝑿𝐴0⊤ = −𝑄
𝐴𝑖 𝑿 + 𝑿𝐴𝑖⊤ = 0 (𝑖 = 1,2, … , 𝑑)
∗
• 「(𝓓, 𝚺𝐩𝐤 )はリアプノフ方程式に対してinformative」なら，
解𝑋は一意で， 𝐴𝑷 + 𝑷𝐴⊤ = −𝑄 の解𝑃に等しい
特殊な事前情報の場合
• システムが次式のクラスで書けることが既知
𝑥 𝑡 = (𝐴𝑟 + 𝐻𝐶)𝑥 𝑡
•
(𝐶, 𝐴r : 既知行列)
∗ は𝑑 + 1本の方程式だったが，この場合は高々3本になる
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