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title: インパルス応答データに基づく可制御性グラミアン推定―データ情報性によるアプローチ―
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author: [Ikumi Banno](https://image.docswell.com/user/ibanno)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: 20251101 第68回自動制御連合講演会
published: November 08, 25
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インパルス応答データに基づく可制御性グラミアン推定
―データ情報性によるアプローチ―
坂野幾海（京都大学）
2025/11/01 第68回自動制御連合講演会 11E-4


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研究背景
超早期精密医療の実現に向けて
• 数理的観点から疾病の超早期検出を
目指す研究が行われてきた
• 例：DNB理論 [Chen, 2012]
- 生体の遺伝子制御ネットワークの異常検知
各ノード：
遺伝子/関連物質
疾病検出の次のステージ：超精密治療
• 遺伝子制御ネットワークの制御問題とみなせる
制御入力
• その準備として，●印のノード群の制御に
必要なエネルギ量を見積りたい
- どの遺伝子に介入すべきか？を探すカギ
• 動的システムの出力可制御性グラミアンを
計測データから推定する問題
1


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先行研究
先行研究：可制御性グラミアンの推定
• 線形システムに対する方法
- [Shaker, 2017], [発表者, 2021], [発表者, 2023]
• 可制御性グラミアンを非線形システムに拡張し，それを推定する
- [Hahn, 2002], [Kashima, 2015]
1) 全状態の観測データを用いて，
2) システム全体の可制御性を推定する
先行研究の課題点
• 遺伝子制御ネットワークの場合：
1) 大量のノードを，すべて直接観測できるとは限らない
2) 部分ネットワークの可制御性を調べれば十分な場合も想定される
2


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研究の概要
研究目的
部分ネットワークの
可制御性を表す
部分観測の時系列データから，出力可制御性
グラミアンを推定する方法を導出する
アプローチ
• 遺伝子制御ネットワークは非線形なので，直接考えるのは難しい
• 第一歩目として，システムの線形性を仮定して近似的に取り組む
研究成果
• 推定に必要かつ十分な，データの条件を特徴づけた
• 出力可制御性グラミアンの具体的な推定手法を与えた
3


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問題設定(1/2)
対象システム
𝑥ሶ 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵0 𝑢0 𝑡
ቊ
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡
1
- (𝐴, 𝐶)の値は未知だが，試験入力行列𝐵0 は既知
- このシステムのインパルス応答𝑌 𝑡 が利用可能とする
𝑌(𝑡) ≔ 𝐶𝑒 𝐴𝑡 𝐵0
0≤𝑡≤𝜏
可制御性の定量化
• 1 で𝐵0 を評価入力行列𝑩に変えたシステムの可制御性を求めたい
𝑥ሶ 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝑩𝑢 𝑡
ቊ
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡
∞
• 出力可制御性グラミアン：
⊤
𝐺 ≔ 𝐶 න 𝑒 𝐴𝑡 𝑩𝑩⊤ 𝑒 𝐴 𝑡 𝑑𝑡 𝐶 ⊤
0
4


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問題設定(2/2)
出力可制御性グラミアンの推定問題
•
Given
𝑥ሶ 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵0 𝑢0 𝑡
ቊ
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡
のインパルス応答
• 試験入力行列𝑩𝟎
• 評価入力行列𝑩
システム(𝐴, 𝑩, 𝐶)の出力可制御性グラミアン
Find
∞
⊤
𝐺 ≔ 𝐶 න 𝑒 𝐴𝑡 𝑩𝑩⊤ 𝑒 𝐴 𝑡 𝑑𝑡 𝐶 ⊤
0
5


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推定問題が可解となる条件は何か？
• そもそも，与えられたデータは，
推定問題が可解となるような十分な情報量を持っているか？
- 例：もし試験入力行列𝑩𝟎 がゼロ行列のとき，
（推定方法によらず）本質的に可解でない
• データ情報性[Waarde, 2020] を考えることで，以下の結果が得られる
定理：データ情報性による可解性解析
推定問題が可解となる
⇔
∃𝑲 𝐵 = 𝐵0 𝑲
𝐵: 評価入力行列
が成り立つ
𝐵0 : 試験入力行列
• つまり，●印の部分NWの可制御性を調べるには，
●印のノードすべてが直接加振されている必要あり
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出力可制御性グラミアン推定問題の解 (1/2)
もしシステムが既知の場合
• 出力可制御性グラミアン𝐺は，つぎの行列方程式を解けば得られる
⊤
⊤
𝐴𝑿
+
𝑿𝐴
=
−𝐵𝐵
ቊ
𝑮 = 𝐶𝑿𝐶 ⊤
2
- 𝐴, 𝐶 が未知なので，直接解けない
• 実は，インパルス応答𝑌 𝑡 を用いて(2)を等価に書き換え可能
推定問題の解
• 推定問題が可解となる条件
∃𝑲 𝐵 = 𝐵0 𝑲
を仮定する
• つぎの方程式は，後述の仮定のもとで(2)と等価となる
෡ 𝐻+⊤ + 𝐻− 𝑿
෡ 𝐻−⊤ = − ‫׬‬ℎ 𝑌෨ 𝑡 𝐾𝐾 ⊤ 𝑌෨ 𝑡 ⊤ 𝑑𝑡
𝐻+ 𝑿
0
ቐ
෡ = 𝐸𝐻− 𝑿
෡ 𝐻−⊤ 𝐸 ⊤
𝑮
2′
7


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出力可制御性グラミアン推定問題の解 (2/2)
෡ 𝐻+⊤ + 𝐻− 𝑿
෡ 𝐻−⊤ = − ‫׬‬ℎ 𝑌෨ 𝑡 𝐾𝐾 ⊤ 𝑌෨ 𝑡 ⊤ 𝑑𝑡
𝐻+ 𝑿
0
ቐ
෡ = 𝐸𝐻− 𝑿
෡ 𝐻−⊤ 𝐸⊤
𝑮
2′
• 𝑯+ , 𝑯− ：離散信号 𝑌 0 , 𝑌 ℎ , 𝑌 2ℎ , … のHankel行列
• 𝑌෨ 𝑡 : インパルス応答𝑌 𝑡 から定まる行列
• 𝐸 ≔ [𝐼𝑝
𝟎𝑝×𝑝
⋯ 𝟎𝑝×𝒑 ]
定理：出力可制御性グラミアンの推定
෡ を持つ；
(i) ほとんどすべてのℎ &gt; 0で 𝟐′ が一意解𝑮
෠
(ii) 一意解𝐺はシステム(𝑨,
𝑩, 𝑪)の出力可制御性グラミアン
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数値例 (1/2)
システム
• 遺伝子制御ネットワークのモデル [Shen 2022] の線形化システム
𝑥ሶ 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵0 𝑢 𝑡
ቊ
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡
1
- 𝐴 ∈ 𝐑20×20
- 𝐵0 = [𝑒1 𝑒3 𝑒4 𝑒7 𝑒18 ]
: 入力ノード
: 観測ノード
- 𝐶 = 𝑒1 𝑒5 𝑒7 ⊤
• (𝐴, 𝐶)未知だが，𝐵0 は既知；
• (1)のインパルス応答𝑌 𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 20 が利用可能
問題
• 𝐵 = 2𝑒4 𝑒18 のとき，(𝑨, 𝑩, 𝑪)の出力可制御性グラミアンを求めよ
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数値例 (2/2)
推定問題の可解性の確認
•
𝑲=
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
に対し， 𝐵 = 𝐵0 𝑲
が成り立つ →問題は可解
出力可制御性グラミアンの計算
෡ 𝐻+⊤ + 𝐻− 𝑿
෡ 𝐻−⊤ = − ‫׬‬ℎ 𝑌෨ 𝑡 𝐾𝐾 ⊤ 𝑌෨ 𝑡 ⊤ 𝑑𝑡
𝐻+ 𝑿
0
ቐ
෡ = 𝐸𝐻− 𝑿
෡ 𝐻−⊤ 𝐸 ⊤
𝑮
෡=
• 2 の一意解として， 𝑮
′
5.687
2.054
5.564
2.054
0.821
2.215
5.564
2.215
7.075
→出力可制御性グラミアンが正しく求められた
2′
2′
が得られる
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おわりに
まとめ
• 部分観測システムに対して，(有限長の) インパルス応答から
出力可制御性グラミアンを推定する方法を提案
① 問題が可解になるための条件を明らかにした
② 具体的な推定方法を導出した
今後の課題
• 非線形システムに対する議論・手法の拡張
• インパルス応答データが観測ノイズを含む場合の推定
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