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title: 入試問題解説022cl
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description: 入試問題解説022cl by ブリザードマン
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入試問題解説
第 22 回：二 項 係 数 の 重 み づ け
2020 千 葉 大
前期
理系


# Page. 2

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入試問題解説
問題
正の整数 n に対して，
an =
n
P
k=0
n Ck ;
bn =
n
P
k=0
n Ck k;
cn =
n
P
n Ck
k=0 k + 1
;
dn =
n
P
k=0
n Ck k
2
とする。
(1) an を求めよ。
(2) bn を求めよ。
(3) cn を求めよ。
an bn
(5) 極限値 lim
を求めよ。
n!1 cn dn
(2020 千葉大 前期 理系)
(4) dn を求めよ。
■ 本問の学習テーマ・目的
1
，k2 を掛けて加えたもので
k+1
す。この掛ける数を，ここでは「重み」とよぶことにします。(1 + x)n を二項展開し，
本問の 4 つの和は，二項係数 n Ck にそれぞれ 1，k，
代入・微分・積分を使い分けて 4 つの和を求めます。
解説では，重みが k の多項式である場合と，分母に k + s を含む場合について，一般的
な公式を導きます。公式を暗記するのではなく，重みの形から計算方法を選べるように
しましょう。
指針 / アプローチ
▼ 二項定理による展開
n
▼ 微分・積分による重みづけ
▼ 代入と極限の計算
1
重み k は x を微分して，
k+1
は 積 分 し て つ く り ま す 。 k2 は
k(k ¡ 1) + k に分けます。
微分したあとは x = 1 を代入し，
積分は 0 から 1 までの定積分と
します。(5) では結果を代入して
約分します。
k
(1 + x) を展開します。すぐに
x = 1 を代入せず，xk を残して
おいて微分や積分に用います。
dn では，xk を 2 回微分したときの係数が k2 ではなく k(k ¡ 1) になることに注意します。
k2 = k(k ¡ 1) + k と分け，2 回微分と 1 回微分を組み合わせましょう。
解答
二項定理より，(*1)
(*1) ①は x について
n
P
(1) ①の両辺に x = 1 を代入すると，an = 2n
の恒等式です。右辺は
有限個の項の和なので，
項ごとに微分・積分で
きます。
(2) ①の両辺を x で微分すると，(*2)
(*2) k = 0 の項は定
(1 + x)n =
k=0
n(1 + x)n¡1 =
n
P
k=1
k
n Ck x
ÝÝ ①
kn Ck xk¡1
ÝÝ ②
bn の k = 0 の項は 0 であるから，②の両辺に x = 1 を代入すると，bn = n2n¡1
(3) ①の両辺を x について 0 から 1 まで積分すると，
Z1
Z1
n
P
(1 + x)n dx =
C
xk dx
n k
0
k=0
--- 1 ---
0
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数で，微分すると 0 に
なるので，右辺は
k = 1 からの和になり
ます。


# Page. 3

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入試問題解説
となる。ここで
Z1
0
xk dx =
cn =
Z1
0
1
であるから，右辺は cn に等しい。よって，
k+1
1
(1 + x)n dx = 
(1 + x)n+1
2n+1 ¡ 1
˜ =
n+1
n+1
0
(4) n ≧ 2 とする。①の両辺を 2 回微分すると，
n(n ¡ 1)(1 + x)n¡2 =
n
P
k=2
k(k ¡ 1)n Ck xk¡2
ÝÝ ③
k2 = k(k ¡ 1) + k と分けると，k(k ¡ 1) の和では k = 0; 1 の項が，k の和では k = 0 の
項が 0 になるから，
dn =
n
P
k=2
k(k ¡ 1)n Ck +
n
P
k=1
kn Ck
となる。よって，②，③の両辺に x = 1 を代入して，
dn = n(n ¡ 1)2n¡2 + n2n¡1 = n(n + 1)2n¡2
n = 1 のとき，定義より d1 = 1 であり，これは n(n + 1)2n¡2 に n = 1 を代入した値 1 と
一致する。よって，すべての正の整数 n に対して
dn = n(n + 1)2n¡2 である。(*3)
(*3) n = 1 のとき③
の右辺は k = 2 から
k = 1 までの和となる
ので，この式は n ≧ 2
のときに用います。
n = 1 の場合は dn の
定義に戻って直接確か
めます。
(5) (1)〜(4) より，
an bn
2n+1
=
= n+1
cn dn
2
¡1
an bn
n!1 cn dn
したがって， lim
1
1¡
1
2n+1
=1
答案記載上の注意点
答案では，二項展開の式に対してどのような操作（代入・微分・積分）を行ったかを明記し，
その結果が問題文の和と一致することを示します。和の範囲と n の条件も確認しましょう。
▼ ポイント 1：微分後の和の範囲
1 回微分した式は k = 1 からの和，2 回微分した式は k = 2 からの和として書きます。k = 0
の定数項を残したまま形式的に 0 ¢ x¡1 と書くと，x = 0 で意味をもたない式になってしまい
ます。微分して 0 になる項は除いて，k = 1 からの和，k = 2 からの和に書き直しましょう。
▼ ポイント 2：k2 の分解と n = 1 の確認
k2 = k(k ¡ 1) + k を明記し，2 回微分と 1 回微分で求めた和を加えます。2 回微分した式は
n ≧ 2 のときに用いるので，n = 1 のときは定義に戻って，求めた式が成り立つことを確かめ
ます。
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# Page. 4

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入試問題解説
▼ ポイント 3：極限の前の約分
cn の分子 2n+1 ¡ 1 を途中で 2n+1 とみなしたりせず，(1)〜(4) の結果をそのまま代入して約
2n+1
となり，分母・分子を 2n+1 で
分しましょう。n や n + 1 などの因数を約分すると n+1
2
¡1
割れば極限がすぐにわかります。
解説
1. xk を残す意味
学習テーマで述べたように，
n
P
k=0
n Ck wk の wk を「重み」とよびます。本問の 4 つの和は，二
項係数に掛かる重みが違うだけです。最初から x = 1 を代入すると，重みがすべて 1 の和
（an ）しか求められません。xk を残しておけば，ほかの重みをつけることができます。例えば
①の両辺に x = t（t は実数）を代入すると
n
P
k=0
k
n
n Ck t = (1 + t) となります。t = 1 のとき
は an ，t = ¡1 のときは符号が交互に変わる和になります。(*4) 微分や積分も，xk から必要な
重みをつくるための操作です。
(*4) 微分・積分の変数
x と区別するため，代
入する値を t で表して
います。
2. 重みが多項式の場合
xk を 1 回，2 回，3 回と微分すると，係数には k，k(k ¡ 1)，k(k ¡ 1)(k ¡ 2) が現れます。
これらの積をまとめて扱うため，実数 y に対し，
Q0 (y) = 1;
Qr (y) = y(y ¡ 1)Ý(y ¡ r + 1)
(r = 1; 2; : : :)
とおきます。r ≧ 1 のとき Qr (y) は r 個の因数の積です。1 ≦ r ≦ n として①の両辺を r 回
微分すると，
n
P
k=r
k¡r
= Qr (n)(1 + x)n¡r
n Ck Qr (k)x
となります。
この両辺に xr を掛け，0 ≦ k < r を満たす整数 k では Qr (k) = 0 であることを使うと，和
を k = 0 からの和に戻すことができ，
n
P
k=0
k
r
n¡r
n Ck Qr (k)x = Qr (n)x (1 + x)
ÝÝ ④
となります。x = 1 を代入すると，
n
P
k=0
n¡r
n Ck Qr (k) = Qr (n)2
ÝÝ ⑤
です。r = 0 のとき④は①そのものです。また，r > n のときは，0 ≦ k ≦ n を満たすすべて
の整数 k について Qr (k) = 0 であり，特に Qr (n) = 0 なので，⑤の両辺はともに 0 になり
ます。したがって⑤は 0 以上のすべての整数 r について成り立ちます。(*5)
(*5) ④は r ≦ n のと
では，どんな多項式 P(k) でも Q0 (k); Q1 (k); : : : の定数倍の和で表せるでしょうか。Qr (k)
きに限って用います。
r > n でも成り立つの
は，x = 1 を代入した
⑤のほうです。
は最高次の項の係数が 1 の r 次式です。m ≧ 1 として，m 次多項式 P(k) の最高次の項を
®m km とします。このとき P(k) ¡ ®m Qm (k) は 0 または m ¡ 1 次以下の多項式になりま
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# Page. 5

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入試問題解説
す。残った式の次数が 1 以上なら同じ操作を繰り返します。最後に残った定数を Q0 (k) = 1
の定数倍とみなせば，定数 ®0 ; ®1 ; : : : ; ®m を用いて
P(k) =
m
P
r=0
®r Qr (k) ÝÝ ⑥
と表せます。P(k) が定数の場合も m = 0 として P(k) = ®0 Q0 (k) と表せます。P(k) が
つねに 0 なら ®0 = 0 です。また，2 通りに表せたとすると，2 つの式の差は k の値によらず
つねに 0 になります。一方，係数が異なる Qr (k) のうち r が最大のものに着目すると，差の
式ではその次数の項が消えずに残ります。これは矛盾です。したがって，この表し方はただ 1
通りです。
例えば k3 ¡ Q3 (k) = 3k2 ¡ 2k，(3k2 ¡ 2k) ¡ 3Q2 (k) = k なので，k3 = Q3 (k) + 3Q2 (k) +
n
P
Q1 (k) です。⑤を用いれば
k=0
n Ck k
3
= n 2 (n + 3)2n¡3 と計算できます。
一般に⑥の各項に⑤を用いれば，
n
P
k=0
n Ck P(k) = 2
n
m ® Q (n)
P
r r
2r
r=0
ÝÝ ⑦
と表せます。P(k) が n を含まない m 次多項式なら，右辺は 2n と n の m 次式の積です。
本問の bn = 2n
n(n + 1)
n
，dn = 2n
も，この形になっています。
2
4
3. 微分と二項係数の変形の対応
微分を使わなくても二項係数の変形から同じ結果を導けます。0 ≦ r ≦ k ≦ n を満たす整数
r; k について階乗の定義を使うと，
Qr (k)n Ck =
k!
n!
¢
= Qr (n)n¡r Ck¡r
(k ¡ r)! k!(n ¡ k)!
ÝÝ ⑧
です。r = 1 のときの kn Ck = n n¡1 Ck¡1 は bn を求めるときによく使う変形です。r = 2 と
すれば dn の計算にも使えます。(*6)
(*6) ⑧は k ≧ r の範
1 ≦ r ≦ n とすると，k < r の項は 0 なので，⑧を用いて
囲で使います。
0 ≦ k < r では左辺
Qr (k)n Ck が 0 なの
で，右下の添字が負に
なる二項係数を用いる
必要はありません。
n
P
k=0
n Ck Qr (k) = Qr (n)
n
P
k=r
n¡r Ck¡r = Qr (n)2
n¡r
となり，⑤と一致します。
2 つ目の等号では，k が r から n まで動くとき k ¡ r が 0 から n ¡ r まで動くことから，二
項定理を用いて和を 2n¡r としています。
①の両辺を 1 回微分した②で xk¡1 の係数を比較すると，kn Ck = n n¡1 Ck¡1 （1 ≦ k ≦ n ）と
なります。⑧は，これを r 回微分した場合に広げたものです。微分と二項係数の変形を別々の
公式として覚える必要はありません。
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# Page. 6

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入試問題解説
4. 分母に k + s を含む場合
1
本問の
は xk を積分すると現れます。正の整数 s に対して
k+1
なので，①の両辺に xs¡1 を掛けて 0 から 1 まで積分すれば，
n
P
n Ck
k=0 k + s
=
Z1
0
xs¡1 (1 + x)n dx
Z1
0
xk+s¡1 dx =
1
k+s
ÝÝ ⑨
となります。s は正の整数なので被積分関数は多項式です。なお，s 回積分するのではなく，
xs¡1 を掛けて 1 回積分します。
Z
2
u = 1 + x とおくと右辺は
(u ¡ 1)s¡1 =
s¡1
P
j=0
1
(u ¡ 1)s¡1 un du になります。
(¡1)s¡1¡j s¡1 Cj uj と展開して積分すると，
n
P
n Ck
k=0 k + s
=
s¡1
P
j=0
(¡1)s¡1¡j s¡1 Cj
2n+j+1 ¡ 1
n+j+1
(*7) s > 1 でも
ÝÝ ⑩
(1 + x)n を展開し直す
となります。これで，n + 1 個の項の和を s 個の項の和に書き換えられました。s が小さけれ
ば，n がいくら大きくても少ない項数で計算できます。s = 1 の場合が本問の cn です。(*7)
1
1
C =
C
と変形する方法もあります。この等式は階乗
n + 1 n+1 k+1
k + 1n k
で表せばすぐに確かめられます。j = k + 1 とおくと，j は 1 から n + 1 まで動くので，この
また，s = 1 なら
等式を用いて
cn =
P
1 n+1
2n+1 ¡ 1
n+1 Cj =
n + 1 j=1
n+1
となります。j = 0 の項を含まないので，2n+1 から n+1 C0 = 1 を引いています。
5. 重みを組み合わせた和
実数 t に対し，P(k)tk のように重みを組み合わせた和も求められます。微分で Qr (k) の重
みをつけ，両辺に xr を掛けてから x = t を代入します。⑥の P(k) について n ≧ m とする
と，④と二項定理より，
n
P
k=0
k
n Ck P(k)t =
m
P
r=0
®r Qr (n)tr (1 + t)n¡r
ÝÝ ⑪
となります。m > n の場合は，r > n のとき 0 ≦ k ≦ n でつねに Qr (k) = 0 となるので，
⑪の右辺の和を r = n までとした式が成り立ちます。なお，⑪において t = 0 のときの t0
や，t = ¡1 のときの (1 + t)0 などは 1 として扱います。t = 1 を代入すると⑦になります。
重み
二項展開の式に対する操作
k
t
x = t を代入します。t = 1 のときは重みが 1 です。
P(k)
1
k+s
Qr (k) の定数倍の和で表し，微分してから x = 1 を代入します。
P(k)tk
xs¡1 を掛けて 0 から 1 まで積分します。
微分で Qr (k) の重みをつけ，xr を掛けてから x = t を代入します。
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必要はありません。置
換後に (u ¡ 1)s¡1 を
展開します。


# Page. 7

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入試問題解説
表の P(k) は k の多項式です。二項係数を含む和ではまず重みを確認し，xk にその重みをつ
ける操作を考えましょう。
■ 復習のポイント
本問では，次のポイントを重点的に復習しましょう。
★★★★★ 重みに応じた操作：xk に対する代入・微分・積分を使い分ける
★★★★★ 重みが k の多項式の場合：1; k; k(k ¡ 1); : : : の定数倍の和に直す
★★★★★ 2 つの解法の関係：微分と二項係数の変形を対応させる
★★★★☆ 分母の処理：xs¡1 を掛けてから積分し，分母 k + s をつくる
★★★★☆ 適用範囲：和の範囲と n ・r・s の条件を確認する
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