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title: 入試問題解説028cl
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description: 入試問題解説028cl by ブリザードマン
published: November 14, 26
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# Page. 1

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入試問題解説
第 28 回：反 復 試 行 の 終 了 条 件
と確率の最大値
2021 札 幌 医 科 大 学 大 問 3


# Page. 2

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入試問題解説
問題
白玉 m 個と赤玉 n 個が入った袋がある。この袋の中から無作為に玉を 1 個取り出し，
色を確認して袋に戻す操作を 1 回の試行とし，これを繰り返す。ただし m; n は自然数
である。
白玉が k 回出たときに終了するとして，試行を開始してからちょうど x 回目の試行で
終了する確率を pk (x) と表すことにする。ただし k は自然数である。以下の問いに答
えよ。
(1) pk (k)，pk (k + 1) を求めよ。
pk (x + 1)
を m; n; k; x を用いて表せ。
pk (x)
(3) m = 3，n = 7，k = 2 のとき，pk (x) の最大値を求めよ。
(2) x ≧ k を満たす自然数 x に対して，
(2021 札幌医科大学 大問 3)
■ 本問の学習テーマ・目的
試行が終了する条件から最後に白玉が出ることとそれまでに白玉・赤玉がそれぞれ何回
出るかを確かめます。さらに隣り合う項の比を用いて確率の増減を調べ，試行回数が整
数であることに注意して最大値を求めます。
指針 / アプローチ
▼ (1) 最後に出る玉の色
▼ (2) 終了する確率とその比
▼ (3) 比と 1 の大小関係
k 回目で終了するには毎回白玉が
出る必要があります。k + 1 回目
x 回目に白玉が出て，最初の x¡1
回に白玉が k ¡ 1 回出る確率を
(2) の比に m; n; k の値を代入
し，1 との大小関係を調べます。
x が整数であることに注意して確
で終了する場合は最後が白玉であ
ることから赤玉が出る回の選び方
を数えます。
求めます。その式から隣り合う項
の比を計算します。
率の増減を確かめます。
「x 回目で終了する」という条件から x 回目に
最初の x ¡ 1 回
は白玉が出ます。それ以前に白玉が k 回出ると
試行が終了してしまうため，最初の x ¡ 1 回に
は白玉がちょうど k ¡ 1 回出る必要があります。
1
2
?
?
Ý
白 k¡1 回
赤 x¡k 回
x¡1
x 回目
?
白
k 回目の白玉
ここで終了
この数え方を (1) で確かめてから (2) で pk (x) を表す式を求めます。(3) では階乗や累乗を
含む項どうしの差を計算するよりも (2) の比を 1 と比較する方が確率の増減を簡単に調べら
れます。
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# Page. 3

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入試問題解説
解答
(1)
k
m
; である。
m+n
k + 1 回目で終了するには最後に白玉が出て，最初の k 回に赤玉が 1 回だけ出ればよい。赤玉
k 回目で終了するのは k 回とも白玉が出る場合だから，pk (k) = #
が出る回は k 通りあるから
pk (k + 1) = k #
k
m
n
;
m+n m+n
(2)
x ≧ k とする。x 回目で終了する条件は最初の x ¡ 1 回に白玉が k ¡ 1 回，赤玉が x ¡ k 回
出て，最後に白玉が出ることである。したがって
pk (x) = x¡1 Ck¡1 #
k
x¡k
n
m
; #
;
m+n
m+n
ÝÝ ①
m; n は正なので pk (x) > 0 である。よって
pk (x + 1)
n
nx
x Ck¡1
=
=
C
m
+
n
pk (x)
(m + n)(x ¡ k + 1)
x¡1 k¡1
ÝÝ ②
(3)
p2 (1) = 0 である。②に m = 3，n = 7，k = 2 を代入すると，x ≧ 2 に対して
p2 (x + 1)
7x
10
=
である。この比が 1 より大きいのは x <
，すなわち x = 2; 3
3
p2 (x)
10(x ¡ 1)
のときであり，x ≧ 4 では 1 より小さい。
よって p2 (2) < p2 (3) < p2 (4) > p2 (5) > Ý となり，最大値は
p2 (4) = 3 C1 #
1323
3 2 7 2
; # ; =
10
10
10000
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：白玉が出る回の選び方
最後の x 回目には白玉が出ます。それ以外に白玉が出る k ¡ 1 回を最初の x ¡ 1 回から選ぶ
ので，選び方は x¡1 Ck¡1 通りです。
▼ ポイント 2：比を計算する範囲と分母の符号
x ≧ k では pk (x) > 0 なので比を計算できます。また x ¡ k + 1 ≧ 1 より②の分母は正なの
で不等号の向きを変えずに分母を払って比と 1 を比較できます。
▼ ポイント 3：比と隣り合う 2 項の大小関係
x = 3 で比が 1 より大きいことは p2 (4) > p2 (3) を意味します。確率が最大となる試行回数
を 3 と取り違えないよう隣り合う項の大小関係を書いて確かめます。
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# Page. 4

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入試問題解説
解説
1. 白玉が 2 回出る条件と試行が終了する条件の違い
k = 2，x = 4 として出た玉の色を順に並べま
回目
1
2
3
4
3 通りです。最後に白玉が出ることから最初の 3
白
赤
赤
白
回のどの回に白玉が出るかを選べば，並べ方が決
赤
白
赤
白
赤
赤
白
白
白
白
赤
赤
す。4 回目に 2 回目の白玉が出る並べ方は右図の
まります。
最後は白
4 回の試行で白玉が 2 回出る並べ方は 4 C2 = 6
通りあります。しかし「白・白・赤・赤」では 2
除外
回目で試行が終了するため，p2 (4) の計算ではこ
の並べ方を数えません。
2 回目で終了しています
一般の場合も最初の x ¡ 1 回に白玉が k ¡ 1 回出るなら，その途中で白玉が k 回出ることは
ありません。したがって x 回目より前に試行が終了することはなく，途中の並べ方にさらに条
件を付ける必要はありません。
2. 組合せの数と累乗を含む式の比
①で x を x + 1 に変えると白玉が出る回の選び方は x¡1 Ck¡1 通りから x Ck¡1 通りに変わり
ます。赤玉が出る回数は 1 回増え，白玉が出る回数は k 回のままです。したがって比を取る
と白玉が出る確率の累乗は約分でき，赤玉が出る確率の累乗は約分して
n
となります。
m+n
組合せの数の比も階乗を用いて表すと次のように整理できます。
x Ck¡1
x¡1 Ck¡1
=
(k ¡ 1)!(x ¡ k)!
x!
x
=
x¡k+1
(k ¡ 1)!(x ¡ k + 1)!
(x ¡ 1)!
この結果を用いると隣り合う項の比は②の形になります。
3. 比と 1 の大小関係と確率が最大となる試行回数
7x
10
= 1 を解くと x =
と
3
10(x ¡ 1)
なります。x は整数なのでこの前後にある x = 3
(3) では
p2 (x)
x = 4 で最大
と x = 4 で隣り合う項の大小関係を確かめます。
x = 3 で は p2 (4) > p2 (3)，x = 4 で は
0:1
p2 (5) < p2 (4) となります。したがって p2 (4)
まで増加し，その後は減少します。右図でも 4 回
目で終了する確率が最も高くなっています。
0
--- 3 ---
2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
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# Page. 5

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入試問題解説
4. 確率が最大となる試行回数が 2 個ある場合
x < k では pk (x) = 0 なので x ≧ k の範囲を考えます。②の分母は正なので比と 1 の大小
関係は
nx ¡ (m + n)(x ¡ k + 1) = (m + n)(k ¡ 1) ¡ mx
(m + n)(k ¡ 1)
とおくと，x < h では pk (x + 1) >
m
pk (x)，x > h では pk (x + 1) < pk (x) です。x = h のときは隣り合う 2 項が等しくなり
の符号で決まります。そこで h =
ます。
k ≧ 2 では h > k ¡ 1 です。したがって h が整数なら h ≧ k であり，確率は x = h と
x = h + 1 で最大になります。h が整数でない場合は h < r < h + 1 を満たすただ 1 個の整
数 r に対して x = r で最大になります。このときも r ≧ k です。
たとえば m = n ，k = 3 なら h = 4 です。
p3 (4) = p3 (5)
x = 3 では比が 1 より大きく，x = 4 では 1 に
等しく，x ≧ 5 では 1 より小さくなります。その
増加
減少
ため 4 回目で終了する確率と 5 回目で終了する
確率は等しく，どちらも最大になります。
確率が最大となる試行回数を調べるときは比が 1
3
4
5
6
になる場合も確かめます。比が 1 になる整数 x
m = n ，k = 3 の場合（模式図）
x
があれば，確率はその x と x + 1 の両方で最大
になります。
なお k = 1 では h = 0 です。x ≧ 1 に対して比がつねに
n
< 1 となるため，確率は
m+n
x = 1 から減少し，x = 1 で最大になります。
条件
確率が最大となる試行回数
k ≧ 2，h が整数
h と h+1
k ≧ 2，h が整数でない
h < r < h + 1 を満たす整数 r
k=1
1
これらの場合分けは隣り合う項の比と 1 との大小関係から導けます。本問のように m; n; k
の値が与えられた場合は，その値を (2) の比に代入し，隣り合う項の大小関係を書けば十分
です。
■ 復習のポイント
★★★★★ 終了条件：最後に白玉が出ることとそれ以前に白玉が出る回数を確かめ
ます
★★★★★ 組合せ：最初の x ¡ 1 回から白玉が出る k ¡ 1 回を選びます
★★★★★ 確率の増減：正の項どうしの比を取り，1 と比較します
★★★★☆ 最大となる試行回数：比から隣り合う 2 項の大小関係を書きます
★★★☆☆ 等号の場合：比が 1 なら隣り合う 2 項が等しくなります
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